1. Énoncé du problème : Soit un entier relatif $n \neq -4$. On définit $p = 5n + 21$ et $q = n + 4$. On considère un diviseur commun $d$ de $p$ et $q$. 2. Formule et règles importantes : Si $d$ divise à la fois $p$ et $q$, alors $d$ divise toute combinaison linéaire de $p$ et $q$, notamment $p - 5q$. 3. a. Calculons $p - 5q$ : $$p - 5q = (5n + 21) - 5(n + 4) = 5n + 21 - 5n - 20 = 1$$ 4. b. Puisque $d$ divise $p$ et $q$, il divise aussi $p - 5q = 1$. Les seuls diviseurs de 1 sont $1$ et $-1$, donc $d = \pm 1$. 5. c. Conclusion : Le seul diviseur commun à $p$ et $q$ est $\pm 1$, donc la fraction $\frac{p}{q} = \frac{5n + 21}{n + 4}$ est irréductible. 6. Deuxième partie : Montrons que la fraction irréductible est $\frac{3n + 11}{n + 4}$. 7. Soit $p' = 3n + 11$ et $q' = n + 4$. Supposons qu'il existe un diviseur commun $d'$ de $p'$ et $q'$. 8. Comme précédemment, $d'$ divise $p' - 3q' = (3n + 11) - 3(n + 4) = 3n + 11 - 3n - 12 = -1$. 9. Donc $d'$ divise $-1$, ce qui implique $d' = \pm 1$. 10. Conclusion : La fraction $\frac{3n + 11}{n + 4}$ est irréductible. Réponse finale : Les fractions $\frac{5n + 21}{n + 4}$ et $\frac{3n + 11}{n + 4}$ sont irréductibles pour tout entier $n \neq -4$.