1. **Énoncé du problème** : On considère la fonction définie sur l'intervalle $I = ]-1;0[$ par $$g(x) = \frac{1}{x(1+x)^2}.$$ On cherche à exprimer $g(x)$ sous forme de fractions partielles : $$\frac{a}{x} + \frac{b}{1+x} + \frac{c}{(1+x)^2} = \frac{\ldots}{x(1+x)^2}.$$ 2. **Compléter l'expression** : Pour tout $x \in I$, on a $$\frac{a}{x} + \frac{b}{1+x} + \frac{c}{(1+x)^2} = \frac{a(1+x)^2 + bx(1+x) + cx}{x(1+x)^2}.$$ 3. **Déterminer $a$, $b$, $c$** : On veut que $$\frac{1}{x(1+x)^2} = \frac{a(1+x)^2 + bx(1+x) + cx}{x(1+x)^2}.$$ Donc, $$1 = a(1+x)^2 + bx(1+x) + cx.$$ Développons : $$a(1 + 2x + x^2) + b x (1+x) + c x = a + 2ax + a x^2 + b x + b x^2 + c x.$$ Regroupons par puissances de $x$ : $$1 = a + x(2a + b + c) + x^2 (a + b).$$ Cette égalité doit être vraie pour tout $x$, donc les coefficients doivent être égaux : \begin{cases} a = 1 \\ 2a + b + c = 0 \\ a + b = 0 \end{cases} Substituons $a=1$ dans les deux dernières équations : \begin{cases} 2(1) + b + c = 0 \\ 1 + b = 0 \end{cases} Donc, $$b = -1,$$ $$2 + (-1) + c = 0 \Rightarrow 1 + c = 0 \Rightarrow c = -1.$$ 4. **Conclusion sur les coefficients** : $$a=1, \quad b=-1, \quad c=-1.$$ 5. **Trouver les primitives de $g$ sur $]-1;0[$** : On a $$g(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2}.$$ Les primitives sont donc $$\int g(x) \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx - \int \frac{1}{1+x} \, dx - \int \frac{1}{(1+x)^2} \, dx.$$ Calculons chaque intégrale : - $$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C_1,$$ - $$\int \frac{1}{1+x} \, dx = \ln|1+x| + C_2,$$ - $$\int \frac{1}{(1+x)^2} \, dx = \int (1+x)^{-2} \, dx = -\frac{1}{1+x} + C_3.$$ Donc, $$\int g(x) \, dx = \ln|x| - \ln|1+x| + \frac{1}{1+x} + C,$$ avec $C$ une constante d'intégration. **Réponse finale :** $$\boxed{\int g(x) \, dx = \ln|x| - \ln|1+x| + \frac{1}{1+x} + C}.$$