1. **Énoncé du problème :** On a les expressions suivantes : $$A = \frac{5}{4} + \frac{3}{2} \times \frac{2}{5} \div \frac{3}{2} \quad \frac{7}{8} - \frac{7}{4} \quad \frac{5}{5}$$ $$B = \frac{36,4 \times 10^{-5} - 1,24 \times 10^{-4}}{0,2 \times 100 \times 0,0001}$$ $$C = \frac{\sqrt{2} + 2}{(1 + \sqrt{2})^2}$$ $$D = \frac{2^{2010} \times 4^{1007}}{5 \times 4^{1003}}$$ On doit : 1) Vérifier que $A$ est un entier. 2) Écrire $B$ en notation scientifique. 3) Écrire $C$ sous la forme $a + b\sqrt{2}$, où $a$ et $b$ sont des entiers. 4) Montrer que $D$ est un multiple de 3. 5) Vérifier que $A \times D = 6c(2 + \sqrt{2})$ (avec $c$ à déterminer). --- 2. **Calcul de $A$ :** On réécrit $A$ clairement : $$A = \left(\frac{5}{4} + \frac{3}{2}\right) \times \left(\frac{2}{5} \div \frac{3}{2}\right) \times \left(\frac{7}{8} - \frac{7}{4}\right) \times \frac{5}{5}$$ Calculons chaque parenthèse : - $\frac{5}{4} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4} + \frac{6}{4} = \frac{11}{4}$ - $\frac{2}{5} \div \frac{3}{2} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$ - $\frac{7}{8} - \frac{7}{4} = \frac{7}{8} - \frac{14}{8} = -\frac{7}{8}$ - $\frac{5}{5} = 1$ Donc : $$A = \frac{11}{4} \times \frac{4}{15} \times \left(-\frac{7}{8}\right) \times 1$$ Simplifions : - $\frac{11}{4} \times \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$ (les 4 s'annulent) Donc : $$A = \frac{11}{15} \times \left(-\frac{7}{8}\right) = -\frac{77}{120}$$ $-\frac{77}{120}$ n'est pas un entier, donc il faut vérifier l'énoncé car il semble y avoir une erreur dans la transcription. **Hypothèse :** Peut-être que $A$ est la multiplication des deux premières parenthèses seulement, ou une autre interprétation. Reprenons $A$ comme : $$A = \left(\frac{5}{4} + \frac{3}{2}\right) \times \left(\frac{2}{5} \div \frac{3}{2}\right)$$ Calcul : $$A = \frac{11}{4} \times \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$$ Ce n'est pas un entier non plus. Si on considère $A = \frac{7}{8} - \frac{7}{4} \times \frac{5}{5}$, alors : $$\frac{7}{8} - \frac{7}{4} \times 1 = \frac{7}{8} - \frac{7}{4} = -\frac{7}{8}$$ Toujours pas entier. **Conclusion :** Sans clarification, on ne peut pas vérifier que $A$ est entier. 3. **Calcul de $B$ :** $$B = \frac{36,4 \times 10^{-5} - 1,24 \times 10^{-4}}{0,2 \times 100 \times 0,0001}$$ Convertissons les nombres : - $36,4 \times 10^{-5} = 3,64 \times 10^{-4}$ - $1,24 \times 10^{-4}$ reste tel quel Donc le numérateur : $$3,64 \times 10^{-4} - 1,24 \times 10^{-4} = (3,64 - 1,24) \times 10^{-4} = 2,4 \times 10^{-4}$$ Le dénominateur : $$0,2 \times 100 \times 0,0001 = 0,2 \times 100 \times 10^{-4} = 0,2 \times 10^{-2} = 2 \times 10^{-3}$$ Donc : $$B = \frac{2,4 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{-3}} = \frac{2,4}{2} \times 10^{-4 - (-3)} = 1,2 \times 10^{-1}$$ En notation scientifique : $$B = 1,2 \times 10^{-1}$$ 4. **Calcul de $C$ :** $$C = \frac{\sqrt{2} + 2}{(1 + \sqrt{2})^2}$$ Développons le dénominateur : $$(1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$$ Donc : $$C = \frac{\sqrt{2} + 2}{3 + 2\sqrt{2}}$$ Pour simplifier, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $$3 - 2\sqrt{2}$$ On obtient : $$C = \frac{(\sqrt{2} + 2)(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}$$ Calcul du dénominateur : $$3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$$ Calcul du numérateur : $$3\sqrt{2} + 6 - 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 6 - 2 \times 2 - 4\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 6 - 4 - 4\sqrt{2} = (3\sqrt{2} - 4\sqrt{2}) + (6 - 4) = -\sqrt{2} + 2$$ Donc : $$C = 2 - \sqrt{2}$$ On a donc $a = 2$ et $b = -1$. 5. **Calcul de $D$ :** $$D = \frac{2^{2010} \times 4^{1007}}{5 \times 4^{1003}}$$ On exprime $4$ en fonction de $2$ : $$4 = 2^2$$ Donc : $$4^{1007} = (2^2)^{1007} = 2^{2014}$$ $$4^{1003} = 2^{2006}$$ Donc : $$D = \frac{2^{2010} \times 2^{2014}}{5 \times 2^{2006}} = \frac{2^{4024}}{5 \times 2^{2006}} = \frac{2^{4024 - 2006}}{5} = \frac{2^{2018}}{5}$$ On doit montrer que $D$ est multiple de 3. Or $D = \frac{2^{2018}}{5}$, ce qui n'est pas un entier, donc pas multiple de 3. **Hypothèse :** Peut-être une erreur dans l'énoncé ou une autre interprétation. 6. **Vérification de $A \times D = 6c(2 + \sqrt{2})$ :** Sans valeur correcte de $A$ et $D$ entiers, on ne peut pas vérifier cette égalité. --- **Résumé :** - $B = 1,2 \times 10^{-1}$ en notation scientifique. - $C = 2 - \sqrt{2}$, donc $a=2$, $b=-1$. - $A$ et $D$ nécessitent clarification pour vérifier les autres questions.