1. **Énoncé du problème 1 :** Simplifier l'expression $$\left( \frac{3x}{x-2} - \frac{2x}{x+3} \right) : \left( \frac{2x^3 + 26x^2}{x^2 + x - 6} \right)$$ **Conditions d'existence (C.E.) :** - Dénominateurs non nuls : $$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$$ - $$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$$ - $$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, -3$$ 2. **Calcul du numérateur :** $$\frac{3x}{x-2} - \frac{2x}{x+3} = \frac{3x(x+3) - 2x(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{3x^2 + 9x - 2x^2 + 4x}{(x-2)(x+3)} = \frac{x^2 + 13x}{(x-2)(x+3)}$$ 3. **Calcul du dénominateur :** Factoriser le numérateur : $$2x^3 + 26x^2 = 2x^2(x + 13)$$ Le dénominateur est déjà factorisé : $$x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$$ Donc : $$\frac{2x^3 + 26x^2}{x^2 + x - 6} = \frac{2x^2(x+13)}{(x-2)(x+3)}$$ 4. **Division des fractions :** $$\left( \frac{x^2 + 13x}{(x-2)(x+3)} \right) : \left( \frac{2x^2(x+13)}{(x-2)(x+3)} \right) = \frac{x^2 + 13x}{(x-2)(x+3)} \times \frac{(x-2)(x+3)}{2x^2(x+13)}$$ 5. **Simplification :** Annuler les termes communs : $$= \frac{x^2 + 13x}{\cancel{(x-2)(x+3)}} \times \frac{\cancel{(x-2)(x+3)}}{2x^2(x+13)} = \frac{x^2 + 13x}{2x^2(x+13)}$$ Factoriser $$x^2 + 13x = x(x+13)$$ : $$= \frac{x(x+13)}{2x^2(x+13)}$$ Annuler $$x+13$$ : $$= \frac{x}{2x^2} = \frac{\cancel{x}}{2x \cancel{x}} = \frac{1}{2x}$$ 6. **Conditions d'existence finales :** $$x \neq 0, 2, -3, -13$$ (car on a annulé $$x$$ et $$x+13$$) **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{1}{2x}}$$ --- 2. **Énoncé du problème 2 :** Simplifier $$\left( \frac{5x}{x+2} - 1 \right) \cdot \left( \frac{3x}{x-2} + 1 \right) \cdot \left( 4 - \frac{x^2}{16x^2 - 16x + 4} \right)$$ **C.E. :** - $$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$$ - $$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$$ - $$16x^2 -16x +4 = 4(4x^2 -4x +1) = 4(2x-1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$$ 3. **Simplification des parenthèses :** $$\frac{5x}{x+2} - 1 = \frac{5x - (x+2)}{x+2} = \frac{5x - x - 2}{x+2} = \frac{4x - 2}{x+2} = \frac{2(2x - 1)}{x+2}$$ $$\frac{3x}{x-2} + 1 = \frac{3x + (x-2)}{x-2} = \frac{4x - 2}{x-2} = \frac{2(2x - 1)}{x-2}$$ $$4 - \frac{x^2}{16x^2 -16x +4} = 4 - \frac{x^2}{4(2x-1)^2} = \frac{16(2x-1)^2 - x^2}{4(2x-1)^2}$$ Calculons le numérateur : $$16(2x-1)^2 - x^2 = 16(4x^2 -4x +1) - x^2 = 64x^2 -64x +16 - x^2 = 63x^2 -64x +16$$ Donc : $$4 - \frac{x^2}{16x^2 -16x +4} = \frac{63x^2 -64x +16}{4(2x-1)^2}$$ 4. **Produit des trois termes :** $$\frac{2(2x - 1)}{x+2} \times \frac{2(2x - 1)}{x-2} \times \frac{63x^2 -64x +16}{4(2x-1)^2}$$ 5. **Simplification :** $$= \frac{4(2x - 1)^2 (63x^2 -64x +16)}{4(x+2)(x-2)(2x-1)^2}$$ Annulation de $$4$$ et $$(2x-1)^2$$ : $$= \frac{63x^2 -64x +16}{(x+2)(x-2)}$$ 6. **Factorisation du numérateur ?** Discriminant : $$\Delta = (-64)^2 - 4 \times 63 \times 16 = 4096$$ Racines : $$x = \frac{64 \pm 64}{2 \times 63}$$ - $$x= \frac{128}{126} = \frac{64}{63}$$ - $$x=0$$ Donc : $$63x^2 -64x +16 = (7x - 4)(9x - 4)$$ 7. **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{(7x - 4)(9x - 4)}{(x+2)(x-2)}}$$ --- 3. **Énoncé du problème 3 :** Simplifier $$\left( \frac{3x}{x+2} - \frac{2x}{x-3} \right) : \left( \frac{3x^3 - 39x^2}{x^2 - x - 6} \right)$$ **C.E. :** - $$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$$ - $$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$ - $$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3, -2$$ 4. **Calcul du numérateur :** $$\frac{3x}{x+2} - \frac{2x}{x-3} = \frac{3x(x-3) - 2x(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \frac{3x^2 - 9x - 2x^2 - 4x}{(x+2)(x-3)} = \frac{x^2 - 13x}{(x+2)(x-3)}$$ 5. **Calcul du dénominateur :** Factoriser le numérateur : $$3x^3 - 39x^2 = 3x^2(x - 13)$$ Le dénominateur est déjà factorisé : $$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$$ Donc : $$\frac{3x^3 - 39x^2}{x^2 - x - 6} = \frac{3x^2(x-13)}{(x-3)(x+2)}$$ 6. **Division des fractions :** $$\left( \frac{x^2 - 13x}{(x+2)(x-3)} \right) : \left( \frac{3x^2(x-13)}{(x-3)(x+2)} \right) = \frac{x^2 - 13x}{(x+2)(x-3)} \times \frac{(x-3)(x+2)}{3x^2(x-13)}$$ 7. **Simplification :** Annuler les termes communs : $$= \frac{x^2 - 13x}{\cancel{(x+2)(x-3)}} \times \frac{\cancel{(x-3)(x+2)}}{3x^2(x-13)} = \frac{x^2 - 13x}{3x^2(x-13)}$$ Factoriser $$x^2 - 13x = x(x-13)$$ : $$= \frac{x(x-13)}{3x^2(x-13)}$$ Annuler $$x-13$$ : $$= \frac{x}{3x^2} = \frac{\cancel{x}}{3x \cancel{x}} = \frac{1}{3x}$$ 8. **Conditions d'existence finales :** $$x \neq 0, 3, -2, 13$$ **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{1}{3x}}$$ --- 4. **Énoncé du problème 4 :** Simplifier $$\frac{a^2}{a^2 + a} - \frac{2a}{a - 1} + \frac{a + 3}{a^2 - 1}$$ **C.E. :** - $$a^2 + a = a(a+1) \neq 0 \Rightarrow a \neq 0, -1$$ - $$a - 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1$$ - $$a^2 - 1 = (a-1)(a+1) \neq 0 \Rightarrow a \neq 1, -1$$ 5. **Mettre au même dénominateur commun :** Le dénominateur commun est $$a(a+1)(a-1)$$ 6. **Réécrire chaque fraction :** $$\frac{a^2}{a(a+1)} = \frac{a^2 (a-1)}{a(a+1)(a-1)} = \frac{a^2 (a-1)}{a(a+1)(a-1)}$$ $$- \frac{2a}{a-1} = - \frac{2a \cdot a (a+1)}{a(a+1)(a-1)} = - \frac{2a^2 (a+1)}{a(a+1)(a-1)}$$ $$\frac{a+3}{(a-1)(a+1)} = \frac{a+3}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{a}{a} = \frac{a(a+3)}{a(a+1)(a-1)}$$ 7. **Additionner les numérateurs :** $$a^2 (a-1) - 2a^2 (a+1) + a(a+3) = a^3 - a^2 - 2a^3 - 2a^2 + a^2 + 3a = (-a^3) - 2a^2 + 3a$$ 8. **Simplifier :** $$-a^3 - 2a^2 + 3a = -a(a^2 + 2a - 3) = -a(a+3)(a-1)$$ 9. **Expression finale :** $$\frac{-a(a+3)(a-1)}{a(a+1)(a-1)}$$ Annuler $$a$$ et $$(a-1)$$ : $$= \frac{- (a+3)}{a+1}$$ 10. **Conditions d'existence finales :** $$a \neq 0, -1, 1$$ **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{-(a+3)}{a+1}}$$ --- 5. **Énoncé du problème 5 :** Simplifier $$\frac{4x^2 + 2x - 2}{2x^2 - 3x + 1} \cdot \frac{(x-1)(2x-1)}{(2x-1)(2x+1) - (x-1)(x+1) + 3x}$$ **C.E. :** - Dénominateurs non nuls : $$2x^2 - 3x + 1$$ et le dénominateur du second facteur 6. **Factoriser les polynômes :** $$4x^2 + 2x - 2 = 2(2x^2 + x - 1) = 2(2x - 1)(x + 1)$$ $$2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1)$$ 7. **Simplifier le premier facteur :** $$\frac{4x^2 + 2x - 2}{2x^2 - 3x + 1} = \frac{2(2x - 1)(x + 1)}{(2x - 1)(x - 1)} = \frac{2(x + 1)}{x - 1}$$ 8. **Simplifier le dénominateur du second facteur :** $$ (2x-1)(2x+1) - (x-1)(x+1) + 3x = (4x^2 - 1) - (x^2 - 1) + 3x = 4x^2 - 1 - x^2 + 1 + 3x = 3x^2 + 3x$$ 9. **Factoriser :** $$3x^2 + 3x = 3x(x + 1)$$ 10. **Le second facteur devient :** $$\frac{(x-1)(2x-1)}{3x(x+1)}$$ 11. **Produit total :** $$\frac{2(x+1)}{x-1} \times \frac{(x-1)(2x-1)}{3x(x+1)}$$ 12. **Simplification :** Annuler $$(x+1)$$ et $$(x-1)$$ : $$= \frac{2 \cancel{(x+1)}}{\cancel{x-1}} \times \frac{\cancel{(x-1)} (2x-1)}{3x \cancel{(x+1)}} = \frac{2(2x-1)}{3x}$$ 13. **Conditions d'existence finales :** $$x \neq 0, \frac{1}{2}, 1, -1$$ **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{2(2x-1)}{3x}}$$ --- 6. **Énoncé du problème 6 :** Simplifier $$\left( 3 + x - \frac{5}{3 - x} \right) \cdot \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 + 2x}$$ **C.E. :** - $$3 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$ - $$x^2 + 2x = x(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, -2$$ 7. **Simplifier la première parenthèse :** Mettre au même dénominateur $$3 - x$$ : $$3 + x = \frac{(3+x)(3-x)}{3-x} = \frac{9 - x^2}{3-x}$$ Donc : $$3 + x - \frac{5}{3 - x} = \frac{9 - x^2}{3-x} - \frac{5}{3-x} = \frac{9 - x^2 - 5}{3-x} = \frac{4 - x^2}{3-x}$$ 8. **Factoriser $$4 - x^2$$ :** $$4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$$ 9. **Simplifier le second facteur :** $$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$$ $$x^2 + 2x = x(x+2)$$ 10. **Produit total :** $$\frac{(2 - x)(2 + x)}{3 - x} \times \frac{(x - 3)^2}{x(x+2)}$$ 11. **Remarques sur les termes :** $$2 - x = -(x - 2)$$ $$3 - x = -(x - 3)$$ Donc : $$\frac{(2 - x)(2 + x)}{3 - x} = \frac{-(x - 2)(2 + x)}{-(x - 3)} = \frac{(x - 2)(2 + x)}{x - 3}$$ 12. **Réécriture du produit :** $$\frac{(x - 2)(2 + x)}{x - 3} \times \frac{(x - 3)^2}{x(x+2)} = \frac{(x - 2)(2 + x)(x - 3)^2}{(x - 3) x (x + 2)}$$ 13. **Simplification :** Annuler un $$(x - 3)$$ et $$(x + 2)$$ avec $$(2 + x) = (x + 2)$$ : $$= \frac{(x - 2) \cancel{(x + 2)} (x - 3)^2}{\cancel{(x - 3)} x \cancel{(x + 2)}} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{x} (x - 3)$$ 14. **Réécriture finale :** $$= \frac{(x - 2)(x - 3)^2}{x}$$ 15. **Conditions d'existence finales :** $$x \neq 0, 3, -2$$ **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{(x - 2)(x - 3)^2}{x}}$$