1. **Stating the problem:** Trova due frazioni la cui somma è $\frac{5}{6}$ e il cui prodotto è $\frac{1}{6}$. 2. **Formula e regole:** Siano le due frazioni $x$ e $y$. Dobbiamo risolvere il sistema: $$\begin{cases} x + y = \frac{5}{6} \\ xy = \frac{1}{6} \end{cases}$$ 3. **Passo 1: Espressione in termini di $x$ e $y$** Consideriamo $x$ e $y$ come le radici di un'equazione quadratica. L'equazione con radici $x$ e $y$ è: $$t^2 - (x+y)t + xy = 0$$ Sostituendo i valori: $$t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$$ 4. **Passo 2: Risolviamo l'equazione quadratica** Calcoliamo il discriminante: $$\Delta = \left(\frac{5}{6}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{36} - \frac{4}{6} = \frac{25}{36} - \frac{24}{36} = \frac{1}{36}$$ 5. **Passo 3: Calcolo delle radici** $$t = \frac{\frac{5}{6} \pm \sqrt{\frac{1}{36}}}{2} = \frac{\frac{5}{6} \pm \frac{1}{6}}{2}$$ Calcoliamo le due soluzioni: - $$t_1 = \frac{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}}{2} = \frac{\frac{6}{6}}{2} = \frac{1}{2}$$ - $$t_2 = \frac{\frac{5}{6} - \frac{1}{6}}{2} = \frac{\frac{4}{6}}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ 6. **Risposta finale:** Le due frazioni sono $\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{3}$. Quindi, le frazioni cercate sono $\boxed{\frac{1}{2}}$ e $\boxed{\frac{1}{3}}$.