1. Enunciat del problema: Estudiar la funció $y = -\frac{1}{x}$, analitzant domini, recorregut, aixíntotes, màxims/mínims relatius i absoluts, continuïtat i monotonia. 2. Fórmula i regles importants: La funció és una funció racional de la forma $y = \frac{a}{x}$ amb $a = -1$. - Domini: tots els valors reals excepte on el denominador és zero. - Recórrer: valors que pren la funció. - Aixíntotes verticals: punts on la funció no està definida. - Aixíntotes horitzontals: límits quan $x \to \pm \infty$. - Màxims/mínims: punts on la funció canvia de creixent a decreixent o viceversa. - Continuïtat: la funció és contínua en el seu domini. - Monotonia: intervals on la funció és creixent o decreixent. 3. Domini: $$\text{Domini} = \{x \in \mathbb{R} : x \neq 0\}$$ 4. Recórrer: La funció pren tots els valors reals excepte 0, ja que $y=0$ mai es compleix. $$\text{Recorregut} = \{y \in \mathbb{R} : y \neq 0\}$$ 5. Aixíntotes: - Vertical: $x=0$ (denominador zero) - Horitzontal: $\lim_{x \to \pm \infty} -\frac{1}{x} = 0$, per tant $y=0$ 6. Màxims i mínims: La funció no té punts crítics perquè la derivada no s'anul·la en el domini. 7. Continuïtat: La funció és contínua en tot el domini $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. 8. Monotonia: Derivada: $$y' = \frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{x}\right) = -\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = -\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2} > 0 \quad \forall x \neq 0$$ La derivada és positiva en tot el domini, per tant la funció és estrictament creixent en $(-\infty,0)$ i $(0,\infty)$. Resposta final: - Domini: $\{x \in \mathbb{R} : x \neq 0\}$ - Recórrer: $\{y \in \mathbb{R} : y \neq 0\}$ - Aixíntotes: vertical $x=0$, horitzontal $y=0$ - No té màxims ni mínims relatius ni absoluts - És contínua en el seu domini - És estrictament creixent en $(-\infty,0)$ i $(0,\infty)$