1. **Planteamiento del problema:** Tenemos la función $$f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{2x^{2}-2x-3}$$ y queremos graficarla y encontrar sus asíntotas. 2. **Factorización de numerador y denominador:** - Numerador: $$x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1)$$ - Denominador: $$2x^{2}-2x-3 = (2x+3)(x-1)$$ 3. **Simplificación de la función:** $$f(x) = \frac{(x+2)(x-1)}{(2x+3)(x-1)}$$ Cancelamos el factor común $x-1$ (excepto en $x=1$ donde hay una discontinuidad): $$f(x) = \frac{\cancel{(x-1)}(x+2)}{(2x+3)\cancel{(x-1)}} = \frac{x+2}{2x+3}, \quad x \neq 1$$ 4. **Asíntotas verticales:** Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero y el numerador no es cero. - Denominador original: $2x^{2}-2x-3=0$ - Factorizado: $(2x+3)(x-1)=0$ - Soluciones: $x=-\frac{3}{2}$ y $x=1$ En $x=1$ hay una discontinuidad removible (porque se canceló el factor común), no asíntota vertical. En $x=-\frac{3}{2}$ sí hay asíntota vertical. 5. **Asíntota horizontal:** Para funciones racionales donde el grado del numerador y denominador es igual, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales. - Coeficiente principal numerador: 1 - Coeficiente principal denominador: 2 - Asíntota horizontal: $$y=\frac{1}{2}$$ 6. **Resumen:** - Asíntota vertical: $$x=-\frac{3}{2}$$ - Asíntota horizontal: $$y=\frac{1}{2}$$ - Discontinuidad removible en $$x=1$$ 7. **Función simplificada para graficar:** $$f(x)=\frac{x+2}{2x+3}$$ excepto en $x=1$ donde hay un punto de discontinuidad. **Respuesta final:** La función tiene una asíntota vertical en $x=-\frac{3}{2}$ y una asíntota horizontal en $y=\frac{1}{2}$.