1. Planteamos el problema: Tenemos la función $f(x) = \frac{2x}{2-x}$ y queremos encontrar la función compuesta $f(f(x))$. 2. Recordemos que la función compuesta $f(f(x))$ significa que debemos sustituir la variable $x$ en $f(x)$ por la función $f(x)$ misma. 3. Escribimos la composición: $$f(f(x)) = f\left(\frac{2x}{2-x}\right) = \frac{2 \cdot \frac{2x}{2-x}}{2 - \frac{2x}{2-x}}$$ 4. Simplificamos el numerador: $$2 \cdot \frac{2x}{2-x} = \frac{4x}{2-x}$$ 5. Simplificamos el denominador: $$2 - \frac{2x}{2-x} = \frac{2(2-x)}{2-x} - \frac{2x}{2-x} = \frac{4 - 2x - 2x}{2-x} = \frac{4 - 4x}{2-x}$$ 6. Ahora la función compuesta es: $$f(f(x)) = \frac{\frac{4x}{2-x}}{\frac{4 - 4x}{2-x}}$$ 7. Dividir fracciones es multiplicar por el recíproco, entonces: $$f(f(x)) = \frac{4x}{2-x} \times \frac{2-x}{4 - 4x}$$ 8. Cancelamos el factor común $2-x$: $$f(f(x)) = \frac{4x}{\cancel{2-x}} \times \frac{\cancel{2-x}}{4 - 4x} = \frac{4x}{4 - 4x}$$ 9. Factorizamos el denominador: $$4 - 4x = 4(1 - x)$$ 10. Simplificamos la fracción: $$f(f(x)) = \frac{4x}{4(1 - x)} = \frac{\cancel{4}x}{\cancel{4}(1 - x)} = \frac{x}{1 - x}$$ Respuesta final: $$f(f(x)) = \frac{x}{1 - x}$$