1. **Planteamiento del problema:** Tenemos la función $f(x) = x^2 + 4x$ definida en el intervalo $[0,3]$ y queremos analizarla. 2. **Fórmula y reglas importantes:** La función es un polinomio cuadrático. Para estudiar su comportamiento en el intervalo dado, podemos calcular valores en los extremos y encontrar posibles extremos relativos usando la derivada. 3. **Derivada de la función:** Calculamos $f'(x)$ para encontrar puntos críticos: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 4x) = 2x + 4$$ 4. **Encontrar puntos críticos:** Igualamos la derivada a cero: $$2x + 4 = 0$$ $$2x = -4$$ $$x = \cancel{\frac{2x}{2}}{\frac{-4}{2}} = -2$$ 5. **Evaluar si el punto crítico está en el intervalo:** $x = -2$ no está en $[0,3]$, por lo que no es relevante para nuestro análisis en este intervalo. 6. **Evaluar la función en los extremos del intervalo:** - En $x=0$: $$f(0) = 0^2 + 4\cdot0 = 0$$ - En $x=3$: $$f(3) = 3^2 + 4\cdot3 = 9 + 12 = 21$$ 7. **Conclusión:** En el intervalo $[0,3]$, la función $f(x)$ es creciente porque no hay puntos críticos dentro del intervalo y el valor en $x=3$ es mayor que en $x=0$. El valor mínimo en el intervalo es $0$ en $x=0$ y el máximo es $21$ en $x=3$.