1. **Planteamiento del problema:** Queremos analizar la función cuadrática $$y = -2x^2 - x + 6$$. 2. **Fórmulas importantes:** - Vértice: $$x_v = -\frac{b}{2a}$$, $$y_v = f(x_v)$$ - Eje de simetría: $$x = x_v$$ - Intercepto con y: $$y = f(0) = c$$ - Interceptos con x: resolver $$-2x^2 - x + 6 = 0$$ - Dominio: para funciones cuadráticas es $$\mathbb{R}$$ - Rango: depende del vértice y la concavidad 3. **Cálculo del vértice:** $$a = -2, \quad b = -1, \quad c = 6$$ $$x_v = -\frac{-1}{2 \times -2} = -\frac{-1}{-4} = -\frac{1}{4} = -0.25$$ 4. **Evaluamos la función en $$x_v$$ para obtener $$y_v$$:** $$y_v = -2(-0.25)^2 - (-0.25) + 6 = -2(0.0625) + 0.25 + 6 = -0.125 + 0.25 + 6 = 6.125$$ 5. **Eje de simetría:** $$x = -0.25$$ 6. **Intercepto con y:** $$y = f(0) = 6$$ 7. **Interceptos con x:** Resolvemos la ecuación cuadrática: $$-2x^2 - x + 6 = 0$$ Multiplicamos por $$-1$$ para simplificar: $$2x^2 + x - 6 = 0$$ Usamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 2 \times (-6)}}{2 \times 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4}$$ $$x = \frac{-1 \pm 7}{4}$$ Dos soluciones: - $$x_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$ - $$x_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$ 8. **Dominio:** $$\mathbb{R}$$ (todos los números reales) 9. **Rango:** Como $$a = -2 < 0$$, la parábola abre hacia abajo y el vértice es un máximo. Por lo tanto, el rango es: $$y \leq 6.125$$ 10. **Tabla de valores:** Calculamos algunos valores para graficar: | x | y | |---|---| | -3 | $$-2(-3)^2 - (-3) + 6 = -18 + 3 + 6 = -9$$ | | -2 | 0 | | -1 | $$-2(1) - (-1) + 6 = -2 + 1 + 6 = 5$$ | | 0 | 6 | | 1 | $$-2(1) - 1 + 6 = -2 - 1 + 6 = 3$$ | | 1.5 | 0 | | 2 | $$-2(4) - 2 + 6 = -8 - 2 + 6 = -4$$ | **Respuesta final:** - Vértice: $$(-0.25, 6.125)$$ - Eje de simetría: $$x = -0.25$$ - Interceptos con x: $$x = 1.5, -2$$ - Intercepto con y: $$y = 6$$ - Dominio: $$\mathbb{R}$$ - Rango: $$y \leq 6.125$$