1. **Problema:** Dada la función $$f(x) = -x^3 - 2x^2 + 6$$, hallar los vértices, puntos de corte con los ejes, dominio y rango, y analizar la gráfica. 2. **Tipo de función:** Es una función polinómica cúbica, que puede tener puntos críticos donde la derivada es cero. 3. **Derivada para hallar extremos:** $$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 - 2x^2 + 6) = -3x^2 - 4x$$ 4. **Igualamos a cero para encontrar puntos críticos:** $$-3x^2 - 4x = 0$$ 5. **Factorizamos:** $$x(-3x - 4) = 0$$ 6. **Soluciones:** $$x = 0 \quad \text{o} \quad -3x - 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$$ 7. **Evaluamos la función en los puntos críticos para hallar los vértices:** - Para $$x=0$$: $$f(0) = -0 - 0 + 6 = 6$$ - Para $$x = -\frac{4}{3}$$: $$f\left(-\frac{4}{3}\right) = -\left(-\frac{4}{3}\right)^3 - 2\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + 6 = -\left(-\frac{64}{27}\right) - 2\left(\frac{16}{9}\right) + 6 = \frac{64}{27} - \frac{32}{9} + 6$$ Simplificamos: $$\frac{64}{27} - \frac{96}{27} + \frac{162}{27} = \frac{64 - 96 + 162}{27} = \frac{130}{27} \approx 4.81$$ 8. **Puntos de corte con el eje y:** Evaluamos $$f(0) = 6$$, punto (0,6). 9. **Puntos de corte con el eje x:** Igualamos $$f(x) = 0$$: $$-x^3 - 2x^2 + 6 = 0 \Rightarrow x^3 + 2x^2 = 6$$ No es fácil factorizar, pero podemos probar valores enteros: - Para $$x=1$$: $$1 + 2 = 3 \neq 6$$ - Para $$x=2$$: $$8 + 8 = 16 \neq 6$$ - Para $$x=-1$$: $$-1 + 2 = 1 \neq 6$$ - Para $$x=-2$$: $$-8 + 8 = 0 \neq 6$$ Podemos usar aproximación o métodos numéricos, pero para este nivel, indicamos que tiene raíces reales aproximadamente entre $$x=1$$ y $$x=2$$. 10. **Dominio:** Todos los números reales $$(-\infty, \infty)$$ porque es un polinomio. 11. **Rango:** Como el término cúbico tiene coeficiente negativo, la función tiende a $$-\infty$$ cuando $$x \to \infty$$ y a $$\infty$$ cuando $$x \to -\infty$$, por lo que el rango es $$(-\infty, \infty)$$. 12. **Comportamiento de la gráfica:** No es una parábola, es una curva cúbica que decrece para valores grandes de $$x$$ positivos y crece para valores grandes negativos. **Respuesta final:** - Vértices en $$\left(-\frac{4}{3}, \frac{130}{27}\right)$$ y $$(0,6)$$ - Corte con eje y en $$(0,6)$$ - Dominio: $$(-\infty, \infty)$$ - Rango: $$(-\infty, \infty)$$ - La función es una cúbica decreciente para $$x \to \infty$$ y creciente para $$x \to -\infty$$.