1. **Planteamiento del problema:** Queremos analizar y graficar la función cuadrática $$y = -2x^2 - x + 6$$. 2. **Fórmula general y conceptos importantes:** La forma estándar de una función cuadrática es $$y = ax^2 + bx + c$$. Para esta función, $$a = -2$$, $$b = -1$$, y $$c = 6$$. - El **vértice** se calcula con $$x_v = -\frac{b}{2a}$$ y $$y_v = f(x_v)$$. - El **eje de simetría** es la línea vertical $$x = x_v$$. - Los **interceptos con el eje y** se obtienen evaluando $$x=0$$. - Los **interceptos con el eje x** se obtienen resolviendo $$ax^2 + bx + c = 0$$. - El **dominio** de toda función cuadrática es $$\mathbb{R}$$. - El **rango** depende del signo de $$a$$ y el valor del vértice. 3. **Cálculo del vértice:** $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \times -2} = -\frac{-1}{-4} = -\frac{1}{4} = -0.25$$ Evaluamos $$y_v = f(-0.25)$$: $$y_v = -2(-0.25)^2 - (-0.25) + 6 = -2(0.0625) + 0.25 + 6 = -0.125 + 0.25 + 6 = 6.125$$ 4. **Eje de simetría:** $$x = -0.25$$ 5. **Intercepto con eje y:** Evaluamos $$x=0$$: $$y = -2(0)^2 - 0 + 6 = 6$$ Entonces el punto es $$(0,6)$$. 6. **Interceptes con eje x:** Resolvemos $$-2x^2 - x + 6 = 0$$. Multiplicamos por $$-1$$ para simplificar: $$2x^2 + x - 6 = 0$$ Usamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 2 \times (-6)}}{2 \times 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4}$$ $$x_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$ $$x_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$ Los interceptos con eje x son $$(1.5, 0)$$ y $$(-2, 0)$$. 7. **Tabla de valores:** Calculamos algunos valores cercanos al vértice: - Para $$x = -2$$: $$y = -2(-2)^2 - (-2) + 6 = -2(4) + 2 + 6 = -8 + 8 = 0$$ - Para $$x = -1$$: $$y = -2(1) - (-1) + 6 = -2 - (-1) + 6 = -2 + 1 + 6 = 5$$ - Para $$x = 0$$: $$y = 6$$ - Para $$x = 1$$: $$y = -2(1)^2 - 1 + 6 = -2 - 1 + 6 = 3$$ - Para $$x = 2$$: $$y = -2(4) - 2 + 6 = -8 - 2 + 6 = -4$$ 8. **Dominio:** $$\text{Dominio} = \mathbb{R}$$ (todos los números reales). 9. **Rango:** Como $$a = -2 < 0$$, la parábola abre hacia abajo y el vértice es un máximo. Por lo tanto, el rango es: $$y \leq 6.125$$ **Respuesta final:** - Vértice: $$(-0.25, 6.125)$$ - Eje de simetría: $$x = -0.25$$ - Interceptos con eje x: $$(1.5, 0)$$ y $$(-2, 0)$$ - Intercepto con eje y: $$(0, 6)$$ - Dominio: $$\mathbb{R}$$ - Rango: $$y \leq 6.125$$