1. Planteamos el problema: Encontrar la función inversa de $$f(x) = \frac{2x}{x-1}$$. 2. Para hallar la función inversa, intercambiamos $$x$$ y $$y$$ en la ecuación y despejamos $$y$$: $$y = \frac{2x}{x-1} \implies x = \frac{2y}{y-1}$$. 3. Multiplicamos ambos lados por $$y-1$$ para eliminar el denominador: $$x(y-1) = 2y$$. 4. Distribuimos $$x$$: $$xy - x = 2y$$. 5. Reorganizamos para agrupar términos con $$y$$: $$xy - 2y = x$$. 6. Factorizamos $$y$$: $$y(x - 2) = x$$. 7. Despejamos $$y$$ dividiendo ambos lados entre $$x-2$$: $$y = \frac{x}{x-2}$$. 8. Verificamos que $$x \neq 2$$ para que la función inversa esté definida. Por lo tanto, la función inversa es: $$f^{-1}(x) = \frac{x}{x-2}$$.