1. El problema consiste en analizar la función por partes $$V(t) = \begin{cases} at^2 + bt + 2, & 0 \leq t \leq 1 \\ a\sqrt{t} - \frac{b}{t^2}, & 1 < t \leq 8 \end{cases}$$ donde $t$ representa el tiempo y $V(t)$ el número de visitantes en miles. 2. Para resolver o analizar esta función, primero debemos entender cada parte por separado y luego cómo se comportan en el punto de unión $t=1$. 3. La primera parte es un polinomio cuadrático: $$V_1(t) = at^2 + bt + 2$$ para $0 \leq t \leq 1$. 4. La segunda parte es una función que combina una raíz cuadrada y una potencia negativa: $$V_2(t) = a\sqrt{t} - \frac{b}{t^2}$$ para $1 < t \leq 8$. 5. Para continuidad en $t=1$, debemos verificar que $$V_1(1) = V_2(1)$$ lo que implica $$a(1)^2 + b(1) + 2 = a\sqrt{1} - \frac{b}{1^2}$$ 6. Simplificando: $$a + b + 2 = a - b$$ 7. Restando $a$ de ambos lados: $$b + 2 = -b$$ 8. Sumando $b$ a ambos lados: $$b + b + 2 = 0$$ 9. Simplificando: $$2b + 2 = 0$$ 10. Restando 2: $$2b = -2$$ 11. Dividiendo entre 2: $$b = \cancel{\frac{2b}{2}} = \cancel{\frac{-2}{2}} = -1$$ 12. Por lo tanto, para que la función sea continua en $t=1$, $b = -1$. 13. El valor de $a$ no se determina con esta condición, puede ser cualquier número real. 14. En resumen, la función es continua en $t=1$ si $b = -1$ y $a$ es libre. Respuesta final: $$b = -1$$ y $a$ es cualquier número real.