1. **Planteamiento del problema:** Tenemos la función por partes $$g(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < -1 \\ x^2 - 3 & \text{si } x \geq -1 \end{cases}$$ Se pide calcular: a) El valor de $g(-\frac{1}{2})$ y $g(2)$. b) Las preimágenes de 1, es decir, encontrar todos los valores de $x$ tales que $g(x) = 1$. --- 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Para evaluar una función por partes, primero determinamos en qué intervalo cae el valor de $x$ y luego usamos la expresión correspondiente. - Para encontrar preimágenes, igualamos la función a 1 y resolvemos para $x$ en cada caso. --- 3. **Evaluación de $g(-\frac{1}{2})$:** - Como $-\frac{1}{2} = -0.5$ y $-0.5 \geq -1$, usamos la segunda expresión: $$g\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 3 = \frac{1}{4} - 3 = -\frac{11}{4}$$ --- 4. **Evaluación de $g(2)$:** - Como $2 \geq -1$, usamos la segunda expresión: $$g(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$$ --- 5. **Encontrar preimágenes de 1:** Queremos $g(x) = 1$. - Para $x < -1$, $g(x) = x + 2 = 1$. Resolvemos: $$x + 2 = 1 \implies x = 1 - 2 = -1$$ Pero $x$ debe ser menor que $-1$, y $x = -1$ no cumple esta condición, por lo que no hay solución en este intervalo. - Para $x \geq -1$, $g(x) = x^2 - 3 = 1$. Resolvemos: $$x^2 - 3 = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Pero solo consideramos $x \geq -1$, entonces $x = 2$ y $x = -2$ (¿cumple $-2 \geq -1$? No, $-2 < -1$) solo $x=2$ es válido. --- 6. **Conclusión:** - $g(-\frac{1}{2}) = -\frac{11}{4}$ - $g(2) = 1$ - Las preimágenes de 1 son $x = 2$ solamente.