1. **Planteamiento del problema:** Analizar la función $$f(x) = \frac{x^2 - 9}{4 - x^2}$$ y describir sus características principales, incluyendo asíntotas, interceptos y comportamiento general. 2. **Simplificación y dominio:** Observamos que $$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$$ y $$4 - x^2 = (2-x)(2+x) = -(x-2)(x+2)$$. Por lo tanto, $$f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{4 - x^2} = \frac{(x-3)(x+3)}{-(x-2)(x+2)} = -\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}$$. El dominio es $$\mathbb{R} \setminus \{2, -2\}$$ porque en $$x=2$$ y $$x=-2$$ el denominador es cero. 3. **Asíntotas verticales:** Son los valores donde el denominador es cero y el numerador no es cero. - En $$x=2$$, denominador es cero y numerador $$2^2 - 9 = 4 - 9 = -5 \neq 0$$, así que hay asíntota vertical. - En $$x=-2$$, denominador es cero y numerador $$(-2)^2 - 9 = 4 - 9 = -5 \neq 0$$, así que hay asíntota vertical. 4. **Asíntota horizontal:** Para $$x \to \pm \infty$$, el grado del numerador y denominador es 2, por lo que la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales con signo: $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} -\frac{x^2}{x^2} = -1$$. Por lo tanto, la asíntota horizontal es $$y = -1$$. 5. **Interceptos:** - Intercepto en $$x$$ (donde $$f(x)=0$$): Numerador cero, denominador no cero. $$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$$. Ambos están en el dominio, ya que $$\pm 3 \neq \pm 2$$. - Intercepto en $$y$$ (cuando $$x=0$$): $$f(0) = \frac{0 - 9}{4 - 0} = \frac{-9}{4} = -2.25$$. 6. **Comportamiento cerca de las asíntotas verticales:** - Para $$x \to 2^-$$ y $$x \to 2^+$$, el denominador se acerca a cero, el signo cambia, y la función tiende a $$\pm \infty$$. - Similar para $$x \to -2^-$$ y $$x \to -2^+$$. 7. **Resumen y gráfica:** - Asíntotas verticales en $$x = -2$$ y $$x = 2$$. - Asíntota horizontal en $$y = -1$$. - Interceptos en $$x = -3, 3$$ y $$y = -2.25$$ en $$x=0$$. - La función es racional con comportamiento típico de polos en $$\pm 2$$ y se acerca a $$-1$$ para valores grandes de $$|x|$$. **Respuesta final:** La función $$f(x) = \frac{x^2 - 9}{4 - x^2}$$ tiene asíntotas verticales en $$x = -2$$ y $$x = 2$$, una asíntota horizontal en $$y = -1$$, interceptos en $$x = -3, 3$$ y en $$y = -2.25$$ para $$x=0$$. Su dominio es $$\mathbb{R} \setminus \{ -2, 2 \}$$ y su comportamiento cerca de las asíntotas es de crecimiento hacia $$\pm \infty$$.