1. Planteamos el problema: Analizar la función $$f(x) = \sqrt{\frac{x^3+1}{x}}$$ para encontrar dominio, puntos de corte, asíntotas y extremos. 2. Dominio: La expresión dentro de la raíz debe ser mayor o igual a cero para que la función sea real: $$\frac{x^3+1}{x} \geq 0$$ 3. Analizamos el signo del cociente. Los puntos críticos son donde el numerador o denominador son cero: - Numerador: $$x^3+1=0 \Rightarrow x=-1$$ - Denominador: $$x=0$$ (no está en el dominio porque divide) 4. Estudiamos intervalos: - Para $$x<-1$$: Numerador negativo, denominador negativo, cociente positivo. - Para $$-10$$: Numerador positivo, denominador positivo, cociente positivo. 5. Por lo tanto, el dominio es: $$(-\infty,-1] \cup (0,\infty)$$ 6. Puntos de corte con el eje $$x$$: Se cumple $$f(x)=0$$ cuando el radicando es cero: $$\frac{x^3+1}{x} = 0 \Rightarrow x^3+1=0 \Rightarrow x=-1$$ 7. Puntos de corte con el eje $$y$$: Evaluamos $$f(0)$$ no está definido, por lo que no hay corte con eje $$y$$. 8. Asíntotas verticales: En puntos donde el denominador es cero y la función no está definida: - En $$x=0$$ hay asíntota vertical. 9. Asíntotas horizontales: Evaluamos límites en $$x \to \infty$$ y $$x \to -\infty$$: - $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^3+1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + \frac{1}{x}} = \infty$$ - $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x^3+1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + \frac{1}{x}} = \infty$$ No hay asíntotas horizontales. 10. Extremos: Derivamos $$f(x)$$ para encontrar puntos críticos. Sea $$g(x) = \frac{x^3+1}{x} = x^2 + \frac{1}{x}$$, entonces: $$f(x) = \sqrt{g(x)} = (g(x))^{1/2}$$ Derivada: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot g'(x)$$ Calculamos $$g'(x)$$: $$g'(x) = 2x - \frac{1}{x^2}$$ Igualamos $$f'(x)=0$$ para extremos: $$\frac{1}{2\sqrt{g(x)}} (2x - \frac{1}{x^2}) = 0 \Rightarrow 2x - \frac{1}{x^2} = 0$$ Multiplicamos por $$x^2$$: $$2x^3 - 1 = 0 \Rightarrow 2x^3 = 1 \Rightarrow x^3 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$$ 11. Verificamos que $$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} > 0$$ está en el dominio. 12. Calculamos $$f(x)$$ en ese punto: $$f\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right) = \sqrt{\frac{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^3 + 1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{2} + 1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}} = \sqrt{\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}}$$ 13. Conclusión: - Dominio: $$(-\infty,-1] \cup (0,\infty)$$ - Corte con eje $$x$$ en $$x=-1$$ - Asíntota vertical en $$x=0$$ - No hay asíntotas horizontales - Extremo en $$x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$$ con valor $$f\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)$$ Respuesta final: Dominio $$(-\infty,-1] \cup (0,\infty)$$, corte en $$x=-1$$, asíntota vertical en $$x=0$$, extremo en $$x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$$.