1. Planteamos el problema: Encontrar la función dada por $$f(x) = \sqrt{\frac{x^3 + 1}{x}}$$. 2. Recordemos que la raíz cuadrada de una fracción es igual a la raíz cuadrada del numerador dividida por la raíz cuadrada del denominador, es decir: $$f(x) = \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$ donde $b \neq 0$. 3. Aplicamos esta propiedad a la función: $$f(x) = \frac{\sqrt{x^3 + 1}}{\sqrt{x}}$$ 4. Para simplificar, podemos escribir $\sqrt{x^3}$ como $x^{3/2}$ y $\sqrt{x}$ como $x^{1/2}$, entonces: $$f(x) = \frac{\sqrt{x^3 + 1}}{x^{1/2}}$$ 5. No podemos simplificar más la raíz del numerador, pero podemos expresar la función así para facilitar su análisis o derivación. 6. Nota importante: El dominio de la función debe considerar que $x \neq 0$ (porque está en el denominador) y que el radicando $\frac{x^3 + 1}{x}$ debe ser mayor o igual a cero para que la raíz cuadrada esté definida en los reales. Respuesta final: $$f(x) = \frac{\sqrt{x^3 + 1}}{\sqrt{x}}$$