1. El problema es encontrar la función dada: $$F(x) = -\frac{1}{2} |x+1| + \frac{1}{3}$$. 2. La función involucra el valor absoluto, que se define como: $$|a| = \begin{cases} a, & \text{si } a \geq 0 \\ -a, & \text{si } a < 0 \end{cases}$$ 3. La función es una transformación lineal del valor absoluto, multiplicada por $-\frac{1}{2}$ y desplazada verticalmente por $\frac{1}{3}$. 4. Para entender la función, consideremos dos casos: - Caso 1: $x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$ $$F(x) = -\frac{1}{2}(x+1) + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{6}$$ - Caso 2: $x+1 < 0 \Rightarrow x < -1$ $$F(x) = -\frac{1}{2}(-(x+1)) + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}(-x -1) + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}x + \frac{5}{6}$$ 5. Por lo tanto, la función es: $$F(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{5}{6}, & x < -1 \\ -\frac{1}{2}x - \frac{1}{6}, & x \geq -1 \end{cases}$$ 6. Esta función tiene un "vértice" o punto de quiebre en $x = -1$, donde cambia la pendiente. 7. La función es decreciente para $x \geq -1$ y creciente para $x < -1$ debido al signo negativo delante del valor absoluto. 8. El valor en el vértice es: $$F(-1) = -\frac{1}{2} | -1 + 1 | + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$ 9. En resumen, la función es una "V" invertida desplazada verticalmente hacia arriba por $\frac{1}{3}$ y desplazada horizontalmente a la izquierda por 1 unidad. Respuesta final: $$F(x) = -\frac{1}{2} |x+1| + \frac{1}{3}$$