1. Vamos analisar a Questão 02, que pede para construir o gráfico de funções do segundo grau, determinando as raízes, o vértice, o ponto de interseção com o eixo y e a imagem da função. 2. A forma geral da função quadrática é $$f(x) = ax^2 + bx + c$$. 3. Para encontrar as raízes, usamos a fórmula de Bhaskara: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 4. O vértice da parábola é dado por: $$x_v = \frac{-b}{2a}$$ $$y_v = f(x_v)$$ 5. O ponto de interseção com o eixo y ocorre quando $$x=0$$, então: $$f(0) = c$$ 6. A imagem da função é o conjunto dos valores de $$f(x)$$. Para $$a>0$$, a imagem é $$[y_v, +\infty)$$ e para $$a<0$$, é $$(-\infty, y_v]$$. --- ### a) $$f(x) = 2x^2 - 8$$ 1. Coeficientes: $$a=2$$, $$b=0$$, $$c=-8$$. 2. Raízes: $$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \times 2 \times (-8) = 64$$ $$x = \frac{-0 \pm \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{\pm 8}{4}$$ $$x_1 = 2, \quad x_2 = -2$$ 3. Vértice: $$x_v = \frac{-0}{2 \times 2} = 0$$ $$y_v = f(0) = 2 \times 0^2 - 8 = -8$$ 4. Interseção com eixo y: $$f(0) = -8$$ 5. Imagem: Como $$a=2>0$$, imagem é $$[-8, +\infty)$$. --- ### b) $$g(x) = -x^2 + 6x - 9$$ 1. Coeficientes: $$a=-1$$, $$b=6$$, $$c=-9$$. 2. Raízes: $$\Delta = 6^2 - 4 \times (-1) \times (-9) = 36 - 36 = 0$$ $$x = \frac{-6 \pm 0}{2 \times (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3$$ 3. Vértice: $$x_v = \frac{-6}{2 \times (-1)} = 3$$ $$y_v = g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0$$ 4. Interseção com eixo y: $$g(0) = -0 + 0 - 9 = -9$$ 5. Imagem: Como $$a=-1<0$$, imagem é $$(-\infty, 0]$$. --- ### c) $$h(x) = x^2 + 4x + 7$$ 1. Coeficientes: $$a=1$$, $$b=4$$, $$c=7$$. 2. Raízes: $$\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 7 = 16 - 28 = -12 < 0$$ Não há raízes reais. 3. Vértice: $$x_v = \frac{-4}{2 \times 1} = -2$$ $$y_v = h(-2) = (-2)^2 + 4 \times (-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$$ 4. Interseção com eixo y: $$h(0) = 7$$ 5. Imagem: Como $$a=1>0$$, imagem é $$[3, +\infty)$$. --- Esses são os cálculos para as funções do segundo grau da Questão 02.