1. **بيان المسألة:** لدينا الدوال: $$f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$$ $$g(x) = \sqrt{x} + \frac{2}{|x-1|^{-\frac{3}{2}}}$$ $$h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ نريد حل السؤال الأول فقط حسب تعليمات الضيف. 2. **تحديد مجالات التعريف:** - $D_f$: الدالة كثيرة حدود معرفة على $\mathbb{R}$، إذن $D_f = \mathbb{R}$. - $D_g$: - الجذر التربيعي $\sqrt{x}$ معرف فقط لـ $x \geq 0$. - المقام $|x-1|^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{|x-1|^{\frac{3}{2}}}$، يجب أن لا يكون المقام صفرًا، أي $x \neq 1$. إذن $D_g = [0, +\infty) \setminus \{1\}$. - $D_h$: الجذر التربيعي في المقام $\sqrt{x^2 + 1}$ معرف لكل $x$ لأن $x^2 + 1 > 0$ دائمًا. إذن $D_h = \mathbb{R}$. 3. **حساب القيم:** - $f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1$ $$= -\frac{1}{8} - 2 \times \frac{1}{4} + 1 = -\frac{1}{8} - \frac{1}{2} + 1$$ $$= -\frac{1}{8} - \frac{4}{8} + \frac{8}{8} = \frac{3}{8}$$ - $g(9) = \sqrt{9} + \frac{2}{|9-1|^{-\frac{3}{2}}} = 3 + \frac{2}{|8|^{-\frac{3}{2}}}$ $$= 3 + 2 \times |8|^{\frac{3}{2}} = 3 + 2 \times 8^{1.5} = 3 + 2 \times 8 \times \sqrt{8}$$ $$= 3 + 16 \times 2.8284 \approx 3 + 45.254 = 48.254$$ - $h(-2) = \frac{1}{\sqrt{(-2)^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2.236} \approx 0.447$. 4. **سوابق العدد 1 بالدالة $f$:** نحل المعادلة $f(x) = 1$: $$x^3 - 2x^2 + 1 = 1$$ $$x^3 - 2x^2 = 0$$ نخرج العامل المشترك: $$x^2(x - 2) = 0$$ إذًا: $$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$ أو $$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$ إذن سوابق العدد 1 هي $\{0, 2\}$. 5. **دراسة تغير الدالة $h$ على المجالين $]-\infty, 0]$ و $[0, +\infty[$:** - الدالة $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ موجبة دائمًا. - نحسب المشتقة: $$h'(x) = - \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}} \times 2x = - \frac{2x}{(x^2 + 1)^{3/2}}$$ - على $]-\infty, 0]$، حيث $x \leq 0$، يكون $h'(x) \geq 0$ لأن البسط $-2x$ موجب (لأن $x$ سالب أو صفر) والمقام موجب دائمًا. إذن $h$ متزايدة على $]-\infty, 0]$. - على $[0, +\infty[$، حيث $x \geq 0$، يكون $h'(x) \leq 0$ لأن البسط $-2x$ سالب أو صفر. إذن $h$ متناقصة على $[0, +\infty[$. 6. **جدول التغيرات للدالة $h$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & 0 & +\infty \\ \hline h'(x) & + & 0 & - \\ h(x) & \nearrow & 1 & \searrow \\ \end{array}$$ 7. **دراسة شفعية الدوال $f, g, h$:** - $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ تحتوي على حدود ذات أسس فردية (الحد $x^3$) لذا ليست زوجية ولا فردية. - $g(x)$ غير معرفة على كامل $\mathbb{R}$ ولا تحقق شرط الشفعية أو الفردية بسبب وجود الجذر والمقام. - $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ حيث: $$h(-x) = \frac{1}{\sqrt{(-x)^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = h(x)$$ إذن $h$ دالة زوجية. **النتائج النهائية:** - $D_f = \mathbb{R}$ - $D_g = [0, +\infty) \setminus \{1\}$ - $D_h = \mathbb{R}$ - $f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{8}$ - $g(9) \approx 48.254$ - $h(-2) \approx 0.447$ - سوابق العدد 1 في $f$ هي $\{0, 2\}$ - $h$ متزايدة على $]-\infty, 0]$ ومتناقصة على $[0, +\infty[$ - $h$ دالة زوجية، $f$ ليست زوجية ولا فردية، و$g$ لا تحقق الشفعية أو الفردية.