1. **تمرين 1 - الدالة و(x) = 3x^2 + 2 + x** - **المطلوب:** 1) تحديد مجموعة تعريف الدالة و 2) حساب و(0), و(1), و(2), و(3) 3) إثبات أن الدالة و مصغورة بالعدد 1 - **الحل:** 1) مجموعة تعريف الدالة و هي جميع الأعداد الحقيقية لأن الدالة كثيرة حدود (polynomial) معرفة على \(\mathbb{R}\). 2) حساب القيم: \[ و(0) = 3\times0^2 + 2 + 0 = 2 \] \[ و(1) = 3\times1^2 + 2 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6 \] \[ و(2) = 3\times2^2 + 2 + 2 = 3\times4 + 2 + 2 = 12 + 4 = 16 \] \[ و(3) = 3\times3^2 + 2 + 3 = 3\times9 + 5 = 27 + 5 = 32 \] 3) لإثبات أن الدالة و مصغورة بالعدد 1 يعني \(و(x) \geq 1\) لكل \(x\). لكن \(و(x) = 3x^2 + x + 2\) وهي كثيرة حدود من الدرجة الثانية مع معامل \(x^2\) موجب (3 > 0) مما يعني أن الدالة دائمة موجبة أو أكبر من قيمة دنيا. نحسب القيمة الدنيا: نشتق الدالة: \[ و'(x) = 6x + 1 \] نساوي المشتقة بالصفر لإيجاد النقطة الحرجة: \[ 6x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{6} \] نحسب \(و\) عند \(x = -\frac{1}{6}\): \[ و\left(-\frac{1}{6}\right) = 3\left(-\frac{1}{6}\right)^2 + \left(-\frac{1}{6}\right) + 2 = 3\times\frac{1}{36} - \frac{1}{6} + 2 = \frac{1}{12} - \frac{1}{6} + 2 = \frac{1}{12} - \frac{2}{12} + \frac{24}{12} = \frac{23}{12} > 1 \] إذن \(و(x)\) مصغورة بالعدد 1. --- 2. **تمرين 1 - دالة عددية معرفة على المجال [2,3]** - جدول التغيرات: \[ x: -2, -1, 2, 2, 3 \] \[ f(x): -1, 2, 3, 3, 1 \] - المطلوب: 1) تحديد \(f(2)\), \(f(1)\), \(f(2)\) (مكرر) 2) تحديد تغيرات الدالة على المجالات [2,1], [1,2], [2,3] 3) تحديد القيمة القصوى والدنيا على المجال [2,3] 4) تحديد تأطير \(f(x)\) على المجال [1,2,3] - الحل: 1) من الجدول: \[ f(2) = 3, \quad f(1) \text{ غير معطى مباشرة في الجدول، لكن يمكن استنتاجه إذا كان مطلوب} \] 2) تغيرات الدالة: - من -2 إلى -1: \(f\) تزداد من -1 إلى 2 - من -1 إلى 2: \(f\) تزداد من 2 إلى 3 - من 2 إلى 3: \(f\) تنقص من 3 إلى 1 3) القيمة القصوى على [2,3] هي \(3\) عند \(x=2\) القيمة الدنيا على [2,3] هي \(1\) عند \(x=3\) 4) التأطير على المجال [1,2,3] هو \(1 \leq f(x) \leq 3\) --- 3. **تمرين 2 - المعادلة \(P(x) = x^2 + 2x - 3\)** - المطلوب: 1) إثبات أن \(P(0) = -3\) 2) حساب المميز \(\Delta\) للمعادلة \(0 = 3 - 2 + 2x\) (يبدو أن هناك خطأ في المعادلة، نفترض أنها \(0 = 3 - 2x + 2x\) أو \(0 = 3 - 2 + 2x\) غير واضحة، سنحسب للمميز للمعادلة \(x^2 + 2x - 3 = 0\)) 3) استنتاج حلول المعادلة \(x^2 + 2x - 3 = 0\) 4) إعطاء جدول إشارة التعبير \(x^2 + 2x - 3\) 5) استنتاج مجموعة حلول المتراجحة \(x^2 + 2x - 3 \leq 0\) - الحل: 1) \(P(0) = 0^2 + 2\times0 - 3 = -3\) صحيح. 2) المميز: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\times1\times(-3) = 4 + 12 = 16 \] 3) حلول المعادلة: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] \[ \Rightarrow x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] 4) جدول الإشارة: - \(x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)\) - إشارة \(P(x)\) تكون: - موجبة إذا \(x < -3\) أو \(x > 1\) - سالبة إذا \(-3 < x < 1\) - صفر عند \(x = -3\) و \(x = 1\) 5) مجموعة حلول المتراجحة \(P(x) \leq 0\) هي \([-3, 1]\) --- 4. **حل نظام المعادلات:** \[ \begin{cases} 4 = 5 \\ 3x - y = x + 2y \end{cases} \] المعادلة الأولى غير صحيحة (4=5 خطأ)، ربما خطأ في النص. نحل المعادلة الثانية: \[ 3x - y = x + 2y \Rightarrow 3x - y - x - 2y = 0 \Rightarrow 2x - 3y = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x \] **الملخص:** - مجموعة تعريف الدالة و هي \(\mathbb{R}\) - قيم \(و(0)=2, و(1)=6, و(2)=16, و(3)=32\) - الدالة و مصغورة بالعدد 1 - في التمرين الثاني، حلول المعادلة \(x^2 + 2x - 3 = 0\) هي \(x = -3, 1\) - مجموعة حلول المتراجحة \(x^2 + 2x - 3 \leq 0\) هي \([-3,1]\) - نظام المعادلات يعطي \(y = \frac{2}{3}x\) من المعادلة الثانية