1. مسئله را بیان می‌کنیم: می‌خواهیم ترکیب توابع (gf) \circ (fg)، (gf) \circ (gf) و (fg) \circ (fg) را روی زوج مرتب (m,n) بررسی کنیم که شامل عبارات لگاریتمی و کسرهایی با مخرج‌هایی به شکل $ (a^n - 1)(a^{m+1} - 1) $ است. 2. فرمول‌های اصلی: تابع ترکیبی $ (gf) \circ (fg) $ یعنی ابتدا تابع $ fg $ را روی (m,n) اعمال کنیم و سپس تابع $ gf $ را روی نتیجه آن. 3. قوانین مهم: - لگاریتم حاصل‌ضرب برابر است با جمع لگاریتم‌ها: $ \log(xy) = \log x + \log y $. - ترکیب توابع به صورت $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $. 4. کار میانی: - برای $ (gf) \circ (fg)(m,n) $ داریم: $$ \frac{1}{a^n - 1} - \frac{1}{a^{m+1} - 1} $$ - برای $ (gf) \circ (gf)(m,n) $ داریم: $$ \frac{1}{a^n - 1} - \frac{1}{a^{m+1} - 1} $$ - برای $ (fg) \circ (fg)(m,n) $ داریم: $$ \frac{1}{a^n - 1} - \frac{1}{a^{m+1} - 1} $$ 5. توضیح ساده: هر کدام از این ترکیب‌ها در نهایت به اختلاف دو کسر با مخرج‌های $ a^n - 1 $ و $ a^{m+1} - 1 $ تبدیل می‌شوند که نشان‌دهنده رابطه بین توابع و متغیرهای ورودی است. 6. پاسخ نهایی: تمام ترکیب‌های داده شده به صورت زیر ساده می‌شوند: $$ \frac{1}{a^n - 1} - \frac{1}{a^{m+1} - 1} $$