1. 题目要求求函数 $f(x) = \sqrt{x+1} - \frac{1}{x}$ 的定义域。 2. 函数定义域的限制条件： - 根号内的表达式必须大于等于零，即 $x+1 \geq 0$。 - 分母不能为零，即 $x \neq 0$。 3. 解不等式 $x+1 \geq 0$： $$x \geq -1$$ 4. 结合分母不为零的条件，定义域为： $$[-1, +\infty) \setminus \{0\} = [-1,0) \cup (0,+\infty)$$ 5. 因此，函数的定义域是选项 D：$[-1,0) \cup (0,+\infty)$。