1. مسئله: دامنه تابع $f(x) = -3\tan(3x) + 1$ را بیابید. تابع تانژانت در نقاطی که مخرج کسر در تعریف تانژانت صفر می‌شود، تعریف نشده است. تانژانت به صورت $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ است و در نقاطی که $\cos(\theta) = 0$، تانژانت تعریف نشده است. 2. نقاطی که $\cos(3x) = 0$ را پیدا می‌کنیم: $$3x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$$ 3. دامنه تابع همه اعداد حقیقی به جز این نقاط است: $$\text{دامنه} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} : k \in \mathbb{Z} \right\}$$ --- 1. مسئله: باقی‌مانده تقسیم چند جمله‌ای $P(x) = 2x^3 - x^5 + 1$ بر $x-2$ را بیابید. 2. قانون باقی‌مانده می‌گوید باقی‌مانده تقسیم چند جمله‌ای بر $x-a$ برابر است با مقدار چند جمله‌ای در $x=a$. 3. مقدار $P(2)$ را محاسبه می‌کنیم: $$P(2) = 2(2)^3 - (2)^5 + 1 = 2 \times 8 - 32 + 1 = 16 - 32 + 1 = -15$$ --- 1. مسئله: حد چپ تابع $f(x) = \frac{[x] - 1}{(x - 1)^2}$ در نقطه $1$ را بیابید. 2. تابع $[x]$ قسمت صحیح $x$ است. برای $x$ نزدیک به 1 از سمت چپ، $[x] = 0$ چون $x < 1$ است. 3. بنابراین حد چپ: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{0 - 1}{(x - 1)^2} = \lim_{x \to 1^-} \frac{-1}{(x - 1)^2}$$ 4. چون مخرج به سمت صفر مثبت می‌رود و صورت ثابت منفی است، کل کسر به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$$