1. **הבעיה:** יש לנו שתי פונקציות ישרות: - $g(x) = -x + 5$ - $f(x) = 2x - 4$ יש להתאים כל פונקציה לגרף שלה, למצוא את נקודות A, B, C, D, E, לחשב אורכי קטעים ושטחים של משולשים ומרובע. 2. **התאמת פונקציות לגרפים:** - $f(x) = 2x - 4$ היא פונקציה עם שיפוע חיובי (2), כלומר עולה משמאל לימין. - $g(x) = -x + 5$ היא פונקציה עם שיפוע שלילי (-1), כלומר יורדת משמאל לימין. לפי התיאור, הקו עם נקודות A, B, C יורד משמאל לימין, ולכן הוא $g(x)$. הקו עם נקודות C, D עולה משמאל לימין, ולכן הוא $f(x)$. 3. **מציאת נקודות:** - נקודות A ו-B הן על $g(x)$ ועל ציר ה-x, לכן $y=0$: ל-$g(x)$: $0 = -x + 5 \Rightarrow x=5$ נקודה A: $(5,0)$ לנקודה B נניח שהיא גם על $g(x)$ ועל ציר ה-x, נבדוק אם יש נקודה נוספת (ייתכן B היא נקודת חיתוך עם ציר y או אחרת, נבדוק בהמשך). - נקודה C היא נקודת החיתוך של $f(x)$ ו-$g(x)$: $$2x - 4 = -x + 5$$ $$2x + x = 5 + 4$$ $$3x = 9$$ $$x=3$$ נחשב $y$: $$y = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$$ נקודה C: $(3,2)$ - נקודה D היא על $f(x)$, נניח שהיא על ציר ה-x (לפי התיאור היא מתחת), נחשב חיתוך עם ציר ה-x: $$0 = 2x - 4 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$$ נקודה D: $(2,0)$ - נקודה E לא מוגדרת במפורש, נניח שהיא על $g(x)$ או $f(x)$ או ציר ה-y. נבדוק חיתוך עם ציר ה-y: ל-$g(x)$: $x=0 \Rightarrow y=5$ נקודה E: $(0,5)$ 4. **אורכי קטעים:** - אורך $AB$: נקודה A: $(5,0)$ נקודה B: נניח שהיא נקודת חיתוך של $g(x)$ עם ציר ה-y, כלומר $x=0$, אז: $y = -0 + 5 = 5$ נקודה B: $(0,5)$ אורך $AB = \sqrt{(5-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ - אורך $CD$: נקודה C: $(3,2)$ נקודה D: $(2,0)$ אורך $CD = \sqrt{(3-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ 5. **שטח משולש $ABE$:** נקודות: $A = (5,0)$ $B = (0,5)$ $E = (0,5)$ (אותה כמו B, לכן נבדוק אם E שונה, נניח E היא נקודת חיתוך של $f(x)$ עם ציר ה-y: ל-$f(x)$: $x=0 \Rightarrow y = 2(0) - 4 = -4$ נקודה E: $(0,-4)$ שטח משולש עם נקודות $A(5,0), B(0,5), E(0,-4)$: נשתמש בנוסחת השטח לנקודות: $$\text{שטח} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$ $$= \frac{1}{2} |5(5 - (-4)) + 0(-4 - 0) + 0(0 - 5)| = \frac{1}{2} |5(9)| = \frac{45}{2} = 22.5$$ 6. **שטח משולש $CDE$:** נקודות: $C = (3,2)$ $D = (2,0)$ $E = (0,-4)$ נחשב שטח: $$= \frac{1}{2} |3(0 - (-4)) + 2(-4 - 2) + 0(2 - 0)|$$ $$= \frac{1}{2} |3(4) + 2(-6) + 0| = \frac{1}{2} |12 - 12| = 0$$ השטח הוא 0, כלומר הנקודות על קו ישר. 7. **שטח המרובע $OBEC$:** נקודות: $O = (0,0)$ $B = (0,5)$ $E = (0,-4)$ $C = (3,2)$ נחשב שטח מרובע לפי נוסחת השטח לפוליגון: $$\text{שטח} = \frac{1}{2} |x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)|$$ $$= \frac{1}{2} |0*5 + 0*(-4) + 0*2 + 3*0 - (0*0 + 5*0 + (-4)*3 + 2*0)|$$ $$= \frac{1}{2} |0 + 0 + 0 + 0 - (0 + 0 -12 + 0)| = \frac{1}{2} |12| = 6$$ **סיכום:** - פונקציה $g(x) = -x + 5$ היא הקו עם נקודות A(5,0), B(0,5), C(3,2) - פונקציה $f(x) = 2x - 4$ היא הקו עם נקודות C(3,2), D(2,0), E(0,-4) - אורך $AB = 5\sqrt{2}$ - אורך $CD = \sqrt{5}$ - שטח משולש $ABE = 22.5$ - שטח משולש $CDE = 0$ - שטח מרובע $OBEC = 6$