1. Pernyataan masalah: Diberikan relasi rekursif non homogen $$a_{n-1} = 2a_n + 4^n$$ dengan syarat awal $$a_1 = 3$$, dan diminta menyelesaikannya menggunakan fungsi pembangkit. 2. Ubah indeks agar lebih mudah: Misalkan $$n \geq 1$$, maka relasi menjadi $$a_{n-1} = 2a_n + 4^n$$ atau $$a_n = \frac{a_{n-1} - 4^n}{2}$$. 3. Definisikan fungsi pembangkit: $$G(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$. 4. Dari relasi, kalikan kedua sisi dengan $$x^n$$ dan jumlahkan dari $$n=1$$ ke $$\infty$$: $$\sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^n = 2 \sum_{n=1}^\infty a_n x^n + \sum_{n=1}^\infty 4^n x^n$$ 5. Ubah indeks pada sisi kiri: $$\sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^n = x \sum_{m=0}^\infty a_m x^m = x G(x)$$. 6. Sisi kanan pertama adalah $$2 \sum_{n=1}^\infty a_n x^n = 2(G(x) - a_0)$$. 7. Sisi kanan kedua adalah $$\sum_{n=1}^\infty (4x)^n = \frac{4x}{1-4x}$$ untuk $$|4x|<1$$. 8. Jadi persamaan fungsi pembangkit: $$x G(x) = 2(G(x) - a_0) + \frac{4x}{1-4x}$$ 9. Susun ulang: $$x G(x) = 2G(x) - 2a_0 + \frac{4x}{1-4x}$$ $$x G(x) - 2G(x) = -2a_0 + \frac{4x}{1-4x}$$ $$(x - 2) G(x) = -2a_0 + \frac{4x}{1-4x}$$ 10. Diketahui $$a_1 = 3$$, kita perlu $$a_0$$. Dari relasi untuk $$n=1$$: $$a_0 = 2a_1 + 4^1 = 2 \times 3 + 4 = 10$$ 11. Substitusi $$a_0 = 10$$: $$(x - 2) G(x) = -20 + \frac{4x}{1-4x}$$ 12. Sehingga: $$G(x) = \frac{-20 + \frac{4x}{1-4x}}{x - 2} = \frac{-20(1-4x) + 4x}{(x-2)(1-4x)} = \frac{-20 + 80x + 4x}{(x-2)(1-4x)} = \frac{-20 + 84x}{(x-2)(1-4x)}$$ 13. Fungsi pembangkit $$G(x)$$ sudah ditemukan. Untuk mendapatkan rumus eksplisit $$a_n$$, lakukan partial fraction dan kembangkan deret. 14. Partial fraction: $$\frac{-20 + 84x}{(x-2)(1-4x)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{1-4x}$$ 15. Kalikan kedua sisi dengan penyebut: $$-20 + 84x = A(1-4x) + B(x-2)$$ 16. Substitusi $$x=2$$: $$-20 + 168 = A(1-8) + B(0) \Rightarrow 148 = -7A \Rightarrow A = -\frac{148}{7}$$ 17. Substitusi $$x=\frac{1}{4}$$: $$-20 + 21 = A(0) + B(\frac{1}{4} - 2) \Rightarrow 1 = B(-\frac{7}{4}) \Rightarrow B = -\frac{4}{7}$$ 18. Jadi: $$G(x) = -\frac{148}{7} \frac{1}{x-2} - \frac{4}{7} \frac{1}{1-4x}$$ 19. Kembangkan menjadi deret: $$\frac{1}{x-2} = -\frac{1}{2} \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{2}\right)^n = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^n}$$ $$\frac{1}{1-4x} = \sum_{n=0}^\infty (4x)^n = \sum_{n=0}^\infty 4^n x^n$$ 20. Sehingga: $$G(x) = -\frac{148}{7} \left(-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^n}\right) - \frac{4}{7} \sum_{n=0}^\infty 4^n x^n = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{74}{7 \cdot 2^n} - \frac{4}{7} 4^n\right) x^n$$ 21. Koefisien $$a_n$$ adalah: $$a_n = \frac{74}{7 \cdot 2^n} - \frac{4}{7} 4^n = \frac{74}{7 \cdot 2^n} - \frac{4^{n+1}}{7}$$ 22. Jawaban akhir: $$\boxed{a_n = \frac{74}{7 \cdot 2^n} - \frac{4^{n+1}}{7}}$$ untuk $$n \geq 0$$. Ini menyelesaikan relasi rekursif non homogen dengan fungsi pembangkit.