1. Wir haben die Funktion gegeben: $g(x) = x^3 - 2x^2 + x$. 2. Ziel ist es, die Funktion zu analysieren, z.B. Nullstellen, Extremstellen und Verhalten zu bestimmen. 3. Zuerst bestimmen wir die Nullstellen, indem wir $g(x) = 0$ setzen: $$x^3 - 2x^2 + x = 0$$ 4. Faktorisiere $x$ aus: $$x(x^2 - 2x + 1) = 0$$ 5. Die Klammer ist eine quadratische Form, die wir weiter faktorisieren: $$x(x - 1)^2 = 0$$ 6. Daraus folgen die Nullstellen: $$x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 1$$ 7. Nun bestimmen wir die erste Ableitung, um die Extremstellen zu finden: $$g'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$ 8. Setze $g'(x) = 0$: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$ 9. Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}$$ 10. Die Lösungen sind: $$x_1 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ 11. Bestimme die Art der Extremstellen mit der zweiten Ableitung: $$g''(x) = 6x - 4$$ 12. Berechne $g''(x)$ an den kritischen Punkten: $$g''\left(\frac{1}{3}\right) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 4 = 2 - 4 = -2 < 0 \Rightarrow \text{Maximum}$$ $$g''(1) = 6 \cdot 1 - 4 = 2 > 0 \Rightarrow \text{Minimum}$$ 13. Zusammenfassung: - Nullstellen bei $x=0$ und $x=1$ - Maximum bei $x=\frac{1}{3}$ - Minimum bei $x=1$ Das ist die vollständige Analyse der Funktion $g(x) = x^3 - 2x^2 + x$.