1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $f(x) = -4x + 3$. Wir sollen den Achsenabschnitt, die Nullstelle, den Fixpunkt, die Umkehrfunktion berechnen und eine Zeichnung anfertigen. 2. **Achsenabschnitt berechnen:** Der Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Funktion die y-Achse schneidet. Das passiert bei $x=0$. $$f(0) = -4 \cdot 0 + 3 = 3$$ Der Achsenabschnitt ist also bei $(0, 3)$. 3. **Nullstelle berechnen:** Die Nullstelle ist der Wert von $x$, für den $f(x) = 0$ gilt. $$0 = -4x + 3$$ Umstellen: $$4x = 3$$ $$x = \frac{3}{4}$$ Zwischenschritt mit Kürzen: $$0 = -\cancel{4}x + 3 \Rightarrow \cancel{4}x = 3$$ Die Nullstelle ist also bei $\left(\frac{3}{4}, 0\right)$. 4. **Fixpunkt berechnen:** Ein Fixpunkt ist ein Punkt, bei dem $f(x) = x$ gilt. Setze $f(x) = x$: $$x = -4x + 3$$ Umstellen: $$x + 4x = 3$$ $$5x = 3$$ $$x = \frac{3}{5}$$ Zwischenschritt mit Kürzen: $$\cancel{5}x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{\cancel{5}}$$ Nun $f\left(\frac{3}{5}\right)$ berechnen: $$f\left(\frac{3}{5}\right) = -4 \cdot \frac{3}{5} + 3 = -\frac{12}{5} + 3 = -\frac{12}{5} + \frac{15}{5} = \frac{3}{5}$$ Der Fixpunkt ist also bei $\left(\frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right)$. 5. **Umkehrfunktion berechnen:** Die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ erhält man, indem man $y = -4x + 3$ nach $x$ auflöst. Setze $y = -4x + 3$: $$y = -4x + 3$$ Umstellen nach $x$: $$y - 3 = -4x$$ $$x = \frac{3 - y}{4}$$ Jetzt $x$ und $y$ vertauschen, um $f^{-1}(x)$ zu erhalten: $$f^{-1}(x) = \frac{3 - x}{4}$$ 6. **Zeichnung:** Die Funktion ist eine Gerade mit y-Achsenabschnitt bei 3 und Steigung -4. Die Nullstelle liegt bei $x=\frac{3}{4}$, der Fixpunkt bei $\left(\frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right)$.