1. **Problemstellung:** Untersuchen Sie die Funktion $f(x)=0,5x^2-4x$ bezüglich Symmetrie, Globalverhalten, Achsenschnittpunkten, lokalen Extrem- und Wendepunkten sowie Steigungs- und Krümmungsverhalten. 2. **Symmetrie:** Eine Funktion ist gerade, wenn $f(-x)=f(x)$ gilt, und ungerade, wenn $f(-x)=-f(x)$ gilt. Berechnung: $$f(-x)=0,5(-x)^2-4(-x)=0,5x^2+4x$$ Da $f(-x) \neq f(x)$ und $f(-x) \neq -f(x)$, ist die Funktion weder gerade noch ungerade. 3. **Globalverhalten:** Für $x \to \infty$ dominiert der Term $0,5x^2$, also $f(x) \to \infty$. Für $x \to -\infty$ gilt ebenfalls $f(x) \to \infty$ (da $x^2$ positiv ist). 4. **Achsenschnittpunkte:** - Schnitt mit der $y$-Achse bei $x=0$: $$f(0)=0,5\cdot0^2-4\cdot0=0$$ - Schnitt mit der $x$-Achse (Nullstellen) durch Lösen von $f(x)=0$: $$0,5x^2-4x=0$$ Faktor ausklammern: $$x(0,5x-4)=0$$ Nullstellen: $$x=0$$ $$0,5x-4=0 \Rightarrow 0,5x=4 \Rightarrow x=\frac{4}{0,5}=8$$ 5. **Lokale Extrempunkte:** Ableitung berechnen: $$f'(x)=2\cdot0,5x -4= x -4$$ Setze $f'(x)=0$: $$x-4=0 \Rightarrow x=4$$ Zweiter Ableitungstest: $$f''(x)=1 > 0$$ Da $f''(4)>0$, liegt bei $x=4$ ein lokales Minimum vor. Funktionswert: $$f(4)=0,5\cdot4^2 -4\cdot4=0,5\cdot16 -16=8-16=-8$$ 6. **Wendepunkte:** Zweite Ableitung ist konstant $f''(x)=1$, somit keine Wendepunkte. 7. **Steigungs- und Krümmungsverhalten:** - Steigung $f'(x)=x-4$ ist linear und steigt mit $x$. - Krümmung $f''(x)=1$ ist positiv, die Funktion ist überall konkav nach oben. **Endergebnis:** - Funktion ist weder gerade noch ungerade. - Nullstellen bei $x=0$ und $x=8$. - Lokales Minimum bei $(4,-8)$. - Kein Wendepunkt. - Funktion ist nach oben geöffnet.