1. **Problemstellung:** Gegeben sind die Funktionen: $$f(x) = -2 \cdot 4^x, \quad g(x) = 1{,}5 \cdot 6^x, \quad h(x) = -4 \cdot 0{,}5^x, \quad k(x) = 4 \cdot 2^x$$ Wir sollen: a) Die Funktionswerte an der Stelle $x=1$ der Größe nach ordnen. b) Für jede Funktion angeben, durch welche Quadranten ihr Graph verläuft. c) Entscheiden, welche Graphen sich schneiden. 2. **a) Funktionswerte an $x=1$ berechnen:** - Für $f(1)$: $$f(1) = -2 \cdot 4^1 = -2 \cdot 4 = -8$$ - Für $g(1)$: $$g(1) = 1{,}5 \cdot 6^1 = 1{,}5 \cdot 6 = 9$$ - Für $h(1)$: $$h(1) = -4 \cdot 0{,}5^1 = -4 \cdot 0{,}5 = -2$$ - Für $k(1)$: $$k(1) = 4 \cdot 2^1 = 4 \cdot 2 = 8$$ 3. **Ordnen der Werte:** $$f(1) = -8 < h(1) = -2 < k(1) = 8 < g(1) = 9$$ 4. **b) Quadranten der Graphen bestimmen:** - Alle Funktionen sind Exponentialfunktionen der Form $a \cdot b^x$ mit $b>0$. - Für $x \to +\infty$ gilt $b^x \to +\infty$ wenn $b>1$ und $b^x \to 0$ wenn $01$ und $b^x \to +\infty$ wenn $01$ - Für $x \to +\infty$: $4^x \to +\infty$, also $f(x) \to -\infty$ - Für $x \to -\infty$: $4^x \to 0$, also $f(x) \to 0^-$ - Verläuft im 2. und 3. Quadranten (negativ, nahe Null von unten) - $g(x) = 1{,}5 \cdot 6^x$: $a=1{,}5>0$, $b=6>1$ - Für $x \to +\infty$: $g(x) \to +\infty$ - Für $x \to -\infty$: $g(x) \to 0^+$ - Verläuft im 1. und 4. Quadranten (positiv, nahe Null von oben) - $h(x) = -4 \cdot 0{,}5^x$: $a=-4<0$, $b=0{,}5<1$ - Für $x \to +\infty$: $0{,}5^x \to 0$, also $h(x) \to 0^-$ - Für $x \to -\infty$: $0{,}5^x \to +\infty$, also $h(x) \to -\infty$ - Verläuft im 2. und 3. Quadranten - $k(x) = 4 \cdot 2^x$: $a=4>0$, $b=2>1$ - Für $x \to +\infty$: $k(x) \to +\infty$ - Für $x \to -\infty$: $k(x) \to 0^+$ - Verläuft im 1. und 4. Quadranten 5. **c) Schnittpunkte der Graphen:** - Schnittpunkte entstehen, wenn $f(x) = g(x)$ oder $f(x) = h(x)$ usw. - Wir prüfen nur die Paare, die sich im Wertebereich überschneiden können. - $f$ und $h$ beide negativ, aber unterschiedliche Basen und Vorzeichen, prüfen: $$-2 \cdot 4^x = -4 \cdot 0{,}5^x$$ Dividieren wir beide Seiten durch $-2$: $$\cancel{-2} \cdot 4^x / \cancel{-2} = \cancel{-4} \cdot 0{,}5^x / \cancel{-2}$$ $$4^x = 2 \cdot 0{,}5^x$$ Schreibe $0{,}5 = \frac{1}{2}$: $$4^x = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2 \cdot 2^{-x} = 2^{1 - x}$$ Schreibe $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$: $$2^{2x} = 2^{1 - x}$$ Gleichsetzen der Exponenten: $$2x = 1 - x$$ $$2x + x = 1$$ $$3x = 1$$ $$x = \frac{1}{3}$$ Also schneiden sich $f$ und $h$ bei $x=\frac{1}{3}$. - $g$ und $k$ beide positiv mit ähnlichem Verhalten, prüfen: $$1{,}5 \cdot 6^x = 4 \cdot 2^x$$ Dividieren durch $2^x$: $$1{,}5 \cdot \frac{6^x}{2^x} = 4$$ $$1{,}5 \cdot (\frac{6}{2})^x = 4$$ $$1{,}5 \cdot 3^x = 4$$ $$3^x = \frac{4}{1{,}5} = \frac{8}{3}$$ $$x = \log_3 \left(\frac{8}{3}\right)$$ Also schneiden sich $g$ und $k$ bei $x = \log_3 \left(\frac{8}{3}\right)$. - Andere Paare haben unterschiedliche Vorzeichenbereiche und schneiden sich nicht. **Endergebnis:** a) $f(1) < h(1) < k(1) < g(1)$ b) $f$ und $h$ verlaufen durch 2. und 3. Quadrant, $g$ und $k$ durch 1. und 4. Quadrant. c) Schnittpunkte bei: - $f$ und $h$ bei $x=\frac{1}{3}$ - $g$ und $k$ bei $x=\log_3 \left(\frac{8}{3}\right)$