1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$f(x) = 0,1x^3$$. Wir sollen folgende Aufgaben lösen: a) Funktionswerte für $$x = -2$$ und $$x = 2$$ berechnen. b) Den Wert von $$x$$ bestimmen, für den $$f(x) = 100$$ gilt. c) Aussagen überprüfen: (1) Gibt es kein $$x$$ mit $$f(x) = 5$$? (2) Ist $$f(-7) + f(7) = 0$$? --- 2. **Formel und wichtige Regeln:** Die Funktion ist eine Potenzfunktion dritten Grades mit dem Faktor 0,1. Die allgemeine Form ist: $$f(x) = a x^3$$ mit $$a = 0,1$$. Wichtig: - Kubische Funktionen sind ungerade Funktionen, das heißt $$f(-x) = -f(x)$$. - Um Funktionswerte zu berechnen, setzt man den Wert von $$x$$ in die Funktion ein. - Um $$x$$ bei gegebenem $$f(x)$$ zu finden, löst man die Gleichung nach $$x$$ auf. --- 3. **a) Funktionswerte berechnen:** $$f(-2) = 0,1 \times (-2)^3 = 0,1 \times (-8) = -0,8$$ $$f(2) = 0,1 \times 2^3 = 0,1 \times 8 = 0,8$$ --- 4. **b) Für welches $$x$$ gilt $$f(x) = 100$$?** Gegeben: $$0,1 x^3 = 100$$ Teile beide Seiten durch 0,1: $$x^3 = \frac{100}{0,1} = 1000$$ Ziehe die dritte Wurzel: $$x = \sqrt[3]{1000} = 10$$ --- 5. **c) Aussagen überprüfen:** (1) Gibt es kein $$x$$ mit $$f(x) = 5$$? Setze $$f(x) = 5$$: $$0,1 x^3 = 5$$ $$x^3 = \frac{5}{0,1} = 50$$ $$x = \sqrt[3]{50} \approx 3,684$$ Also gibt es ein $$x$$, für das $$f(x) = 5$$ gilt. Aussage (1) ist **falsch**. (2) Ist $$f(-7) + f(7) = 0$$? Berechne: $$f(-7) = 0,1 \times (-7)^3 = 0,1 \times (-343) = -34,3$$ $$f(7) = 0,1 \times 7^3 = 0,1 \times 343 = 34,3$$ Summe: $$f(-7) + f(7) = -34,3 + 34,3 = 0$$ Aussage (2) ist **wahr**. --- **Endergebnis:** a) $$f(-2) = -0,8$$, $$f(2) = 0,8$$ b) $$x = 10$$ für $$f(x) = 100$$ c) (1) falsch, (2) wahr