1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{a}{x+b} + c$ mit $a,b,c \in \mathbb{Q}$ und $a \neq 0$. Gesucht sind zu den geschätzten Werten der Parameter $b$ und $c$ jeweils ein geeigneter Graphenpunkt. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Die Funktion ist eine gebrochenrationale Funktion mit einer Definitionslücke bei $x = -b$ (vertikale Asymptote) und einer waagrechten Asymptote bei $y = c$. Der Parameter $a$ beeinflusst die Steilheit und Richtung der Kurve. 3. **Parameter und Graphenpunkt bestimmen:** a) Für $b = -2$ und $c = -1{,}5$ (aus dem Hinweis "Senk $x = -2$, Waagr $y = -1{,}5$") - Die Funktion lautet: $$f(x) = \frac{a}{x - 2} - 1{,}5$$ - Ein gegebener Punkt ist $P(-2{,}5, y)$, wir setzen $x = -2{,}5$ ein und berechnen $y$: $$y = \frac{a}{-2{,}5 - 2} - 1{,}5 = \frac{a}{-4{,}5} - 1{,}5$$ - Aus der Rechnung im Text: $$-1 = \frac{9}{-7{,}2} - 1{,}5$$ Das entspricht $a = 9$ (da $9 / (-7{,}2)$), aber wir prüfen für $x = -2{,}5$: $$-1 = \frac{9}{-2{,}5 + 2} - 1{,}5 = \frac{9}{-0{,}5} - 1{,}5 = -18 - 1{,}5 = -19{,}5$$ Das passt nicht, daher nehmen wir den Punkt $P(-2{,}5, -1)$ als Beispiel, um $a$ zu bestimmen: $$-1 = \frac{a}{-2{,}5 + 2} - 1{,}5 = \frac{a}{-0{,}5} - 1{,}5$$ $$-1 + 1{,}5 = \frac{a}{-0{,}5}$$ $$0{,}5 = \frac{a}{-0{,}5}$$ $$a = 0{,}5 \times (-0{,}5) = -0{,}25$$ - Somit ist die Funktion: $$f(x) = \frac{-0{,}25}{x - 2} - 1{,}5$$ - Der Graphenpunkt ist $P(-2{,}5, -1)$. 4. **Zusammenfassung:** - Parameter: $a = -0{,}25$, $b = -2$, $c = -1{,}5$ - Funktion: $$f(x) = \frac{-0{,}25}{x + 2} - 1{,}5$$ - Graphenpunkt: $(-2{,}5, -1)$, der auf dem Graphen liegt.