1. Il problema è analizzare la funzione razionale $$y = \frac{x^2 + 1}{2x + 1}$$ e determinarne il dominio, i segni e i punti notevoli. 2. Il dominio è dato da tutti i valori di $x$ per cui il denominatore è diverso da zero: $$2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}$$ 3. Il numeratore $x^2 + 1$ è sempre positivo perché: $$x^2 + 1 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ 4. Per studiare il segno della funzione, osserviamo il segno del denominatore: - Se $2x + 1 > 0 \implies x > -\frac{1}{2}$, allora $y > 0$ perché numeratore e denominatore sono positivi. - Se $2x + 1 < 0 \implies x < -\frac{1}{2}$, allora $y < 0$ perché numeratore positivo e denominatore negativo. 5. La funzione non si annulla mai perché il numeratore $x^2 + 1$ non è mai zero. 6. Punto notevole: calcoliamo $y$ in $x=0$: $$y = \frac{0^2 + 1}{2 \cdot 0 + 1} = \frac{1}{1} = 1$$ Quindi il punto $(0,1)$ appartiene alla curva. 7. Riassumendo: - Dominio: $\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$ - Segno: $y > 0$ per $x > -\frac{1}{2}$, $y < 0$ per $x < -\frac{1}{2}$ - Nessun zero della funzione - Punto di valore noto: $(0,1)$