1. **Problema:** Calcolare per la funzione $y=\frac{x^2+6x+5}{3x-1}$ il dominio, il segno, le intersezioni con gli assi e gli asintoti. 2. **Dominio:** Il denominatore non può essere zero, quindi risolviamo $3x-1=0$. $$3x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{3}$$ Il dominio è quindi $\{x \in \mathbb{R} : x \neq \frac{1}{3}\}$. 3. **Segno:** Studiamo il segno di numeratore e denominatore. Numeratore: $x^2+6x+5 = (x+1)(x+5)$. Segno numeratore: - Positivo per $x<-5$ e $x>-1$. - Negativo per $-5\frac{1}{3}$, negativo per $x<\frac{1}{3}$. Segno funzione è il prodotto dei segni: - Per $x< -5$: numeratore $+$, denominatore $-$, funzione $-$. - Per $-5 < x < -1$: numeratore $-$, denominatore $-$, funzione $+$. - Per $-1 < x < \frac{1}{3}$: numeratore $+$, denominatore $-$, funzione $-$. - Per $x > \frac{1}{3}$: numeratore $+$, denominatore $+$, funzione $+$. 4. **Intersezioni con gli assi:** - Asse $y$: $x=0$. $$y=\frac{0^2+6\cdot0+5}{3\cdot0-1} = \frac{5}{-1} = -5$$ Intersezione con asse $y$ in $(0,-5)$. - Asse $x$: $y=0$ quando numeratore è zero. $$x^2+6x+5=0 \Rightarrow (x+1)(x+5)=0 \Rightarrow x=-1, x=-5$$ Intersezioni con asse $x$ in $(-1,0)$ e $(-5,0)$. 5. **Asintoti:** - Verticale: dove denominatore è zero, cioè $x=\frac{1}{3}$. - Orizzontale o obliquo: grado numeratore $2$, grado denominatore $1$, quindi asintoto obliquo. Calcoliamo asintoto obliquo con divisione polinomiale: $$\frac{x^2+6x+5}{3x-1} = \frac{\cancel{3x-1} \cdot \left(\frac{x^2+6x+5}{3x-1}\right)}{\cancel{3x-1}}$$ Facciamo la divisione: Dividiamo $x^2+6x+5$ per $3x-1$: - Primo termine: $\frac{x^2}{3x} = \frac{1}{3}x$. - Moltiplichiamo: $\frac{1}{3}x \cdot (3x-1) = x^2 - \frac{1}{3}x$. - Sottraiamo: $(x^2+6x+5) - (x^2 - \frac{1}{3}x) = 6x + 5 + \frac{1}{3}x = \frac{19}{3}x + 5$. - Secondo termine: $\frac{\frac{19}{3}x}{3x} = \frac{19}{9}$. - Moltiplichiamo: $\frac{19}{9} \cdot (3x-1) = \frac{19}{3}x - \frac{19}{9}$. - Sottraiamo: $(\frac{19}{3}x + 5) - (\frac{19}{3}x - \frac{19}{9}) = 5 + \frac{19}{9} = \frac{64}{9}$. Quindi: $$y = \frac{1}{3}x + \frac{19}{9} + \frac{\frac{64}{9}}{3x-1}$$ L'asintoto obliquo è: $$y = \frac{1}{3}x + \frac{19}{9}$$ **Risposta finale:** - Dominio: $x \neq \frac{1}{3}$. - Segno: funzione negativa per $x < -5$ e $-1 < x < \frac{1}{3}$, positiva per $-5 < x < -1$ e $x > \frac{1}{3}$. - Intersezioni: con asse $y$ in $(0,-5)$, con asse $x$ in $(-5,0)$ e $(-1,0)$. - Asintoti: verticale in $x=\frac{1}{3}$, obliquo $y=\frac{1}{3}x + \frac{19}{9}$.