1. نبدأ بتحديد المشكلة: لدينا الدالة $g(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ مع نقطة التماس $A(0;-2)$ ومنحنى المماس $T$ عند هذه النقطة. 2. نوجد الحد التالي: $$\lim_{h \to 0} \frac{g(h) + 2}{h}$$ نستبدل $g(h)$ بالتعبير: $$g(h) = h^3 + a h^2 + b h + c$$ وبما أن $g(0) = c = -2$ (لأن المنحنى يمر بالنقطة $(0,-2)$)، 3. إذن: $$\lim_{h \to 0} \frac{h^3 + a h^2 + b h + c + 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 + a h^2 + b h + (c + 2)}{h}$$ وبما أن $c = -2$، يصبح: $$\lim_{h \to 0} \frac{h^3 + a h^2 + b h + (-2 + 2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 + a h^2 + b h}{h}$$ 4. نبسط الكسر: $$\lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h}^3 + a \cancel{h}^2 + b \cancel{h}}{\cancel{h}} = \lim_{h \to 0} (h^2 + a h + b)$$ 5. نعوض $h=0$: $$0^2 + a \times 0 + b = b$$ 6. التفسير البياني: هذا الحد يمثل مشتقة الدالة $g$ عند $x=0$، أي ميل المماس $T$ عند النقطة $A$. 7. بما أن المماس $T$ يمر بمحور الصادات عمودياً (من الرسم)، فإن ميله يساوي صفر، إذن: $$b = 0$$ 8. نستخدم المعلومات الأخرى من التمرين (الجزء 5) لإثبات أن: $$a=0, b=-3, c=-2$$ لكن من الخطوة السابقة وجدنا $b=0$، لذا نحتاج لمزيد من المعطيات أو حل المعادلات التالية. 9. نوجد مشتقة $g$: $$g'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ 10. نحل المعادلة $g(0) = c = -2$ (معطى من النقطة $A$). 11. نستخدم شرط التماس عند $x=0$: $$g'(0) = b$$ 12. من الرسم، المماس عند $x=0$ يوازي محور السينات (ميل صفر)، إذن: $$g'(0) = b = 0$$ 13. نستخدم المعادلة $g(x) = 0$ و $g(x) = -4$ لحل المعادلات: - $g(x) = x^3 + a x^2 + b x + c = 0$ - $g(x) = -4$ 14. نوجد قيم $g(-1), g(1), g(0)$: - $g(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b + c$ - $g(1) = 1 + a + b + c$ - $g(0) = c = -2$ 15. نوجد مشتقة $g'(1)$: $$g'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 3 + 2a + b$$ 16. نوجد مشتقة ثانية $g''(0)$: $$g''(x) = 6x + 2a$$ $$g''(0) = 2a$$ 17. نكمل دراسة الدالة $f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}{x^2}$ على $\mathbb{R}^*$. 18. نثبت أن: $$f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$$ حيث: $$g(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$$ 19. ندرس تغيرات $f$ باستخدام $f'(x)$ ونشكل جدول التغيرات. 20. نكتب معادلة المماس $T_f$ للمنحني $C_f$ عند النقطة ذات الإحداثي $x = -1$. النتيجة النهائية: - $\lim_{h \to 0} \frac{g(h) + 2}{h} = b$ - ميل المماس عند $x=0$ هو $b$ - $g(0) = c = -2$ - مشتقة $g'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ - مشتقة ثانية $g''(x) = 6x + 2a$ - $f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$ - معادلة المماس عند $x=-1$ هي: $$y = f'(-1)(x + 1) + f(-1)$$