1. **Problem a:** Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 2. Grades, die bei $x=-1$ die x-Achse schneidet und im Punkt $P(3|2)$ eine waagerechte Tangente hat. 2. **Lösung a:** - Allgemeine Form: $f(x) = ax^2 + bx + c$ - Bedingung 1: Nullstelle bei $x=-1$ bedeutet $f(-1) = 0 \Rightarrow a(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \Rightarrow a - b + c = 0$ - Bedingung 2: Punkt $P(3|2)$ liegt auf dem Graphen: $f(3) = 2 \Rightarrow 9a + 3b + c = 2$ - Bedingung 3: Waagerechte Tangente bei $x=3$ bedeutet $f'(3) = 0$ mit $f'(x) = 2ax + b$ also $2a(3) + b = 0 \Rightarrow 6a + b = 0$ 3. **Gleichungssystem:** $$\begin{cases} a - b + c = 0 \\ 9a + 3b + c = 2 \\ 6a + b = 0 \end{cases}$$ 4. **Lösen:** - Aus $6a + b = 0$ folgt $b = -6a$ - Einsetzen in erste Gleichung: $a - (-6a) + c = 0 \Rightarrow a + 6a + c = 0 \Rightarrow 7a + c = 0 \Rightarrow c = -7a$ - Einsetzen in zweite Gleichung: $9a + 3(-6a) + (-7a) = 2 \Rightarrow 9a - 18a - 7a = 2 \Rightarrow -16a = 2 \Rightarrow a = -\frac{1}{8}$ - Dann $b = -6a = -6(-\frac{1}{8}) = \frac{3}{4}$ - Und $c = -7a = -7(-\frac{1}{8}) = \frac{7}{8}$ 5. **Funktionsgleichung a:** $$f(x) = -\frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{7}{8}$$ --- 6. **Problem b:** Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit Extrempunkt $E(-1|5)$ und Wendepunkt $W(1|3)$. 7. **Lösung b:** - Allgemeine Form: $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ - Erste Ableitung: $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ - Zweite Ableitung: $f''(x) = 6ax + 2b$ 8. **Bedingungen:** - Extrempunkt bei $x=-1$ mit $f(-1) = 5$ und $f'(-1) = 0$ - Wendepunkt bei $x=1$ mit $f(1) = 3$ und $f''(1) = 0$ 9. **Gleichungen:** - $f(-1) = -a + b - c + d = 5$ - $f'(-1) = 3a - 2b + c = 0$ - $f(1) = a + b + c + d = 3$ - $f''(1) = 6a + 2b = 0$ 10. **Lösen:** - Aus $6a + 2b = 0$ folgt $b = -3a$ - Einsetzen in $f'(-1) = 0$: $3a - 2(-3a) + c = 0 \Rightarrow 3a + 6a + c = 0 \Rightarrow 9a + c = 0 \Rightarrow c = -9a$ - Einsetzen in $f(-1) = 5$: $-a + (-3a) - (-9a) + d = 5 \Rightarrow -a - 3a + 9a + d = 5 \Rightarrow 5a + d = 5$ - Einsetzen in $f(1) = 3$: $a + (-3a) + (-9a) + d = 3 \Rightarrow a - 3a - 9a + d = 3 \Rightarrow -11a + d = 3$ 11. **Subtrahieren der letzten beiden Gleichungen:** - $(5a + d) - (-11a + d) = 5 - 3 \Rightarrow 5a + d + 11a - d = 2 \Rightarrow 16a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{8}$ - Dann $b = -3a = -\frac{3}{8}$ - $c = -9a = -\frac{9}{8}$ - Aus $5a + d = 5$ folgt $d = 5 - 5a = 5 - \frac{5}{8} = \frac{35}{8}$ 12. **Funktionsgleichung b:** $$f(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{8}x^2 - \frac{9}{8}x + \frac{35}{8}$$ --- 13. **Problem c:** Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und den Hochpunkt $H(-\frac{1}{2}|1)$ hat. 14. **Lösung c:** - Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet: $f$ ist ungerade, also $f(x) = ax^3 + cx$ - Erste Ableitung: $f'(x) = 3ax^2 + c$ - Hochpunkt bei $x = -\frac{1}{2}$ mit $f(-\frac{1}{2}) = 1$ und $f'(-\frac{1}{2}) = 0$ 15. **Bedingungen:** - $f(-\frac{1}{2}) = a(-\frac{1}{2})^3 + c(-\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow a(-\frac{1}{8}) - \frac{c}{2} = 1 \Rightarrow -\frac{a}{8} - \frac{c}{2} = 1$ - $f'(-\frac{1}{2}) = 3a(\frac{1}{4}) + c = 0 \Rightarrow \frac{3a}{4} + c = 0 \Rightarrow c = -\frac{3a}{4}$ 16. **Einsetzen von $c$ in erste Gleichung:** $$-\frac{a}{8} - \frac{1}{2} \left(-\frac{3a}{4}\right) = 1 \Rightarrow -\frac{a}{8} + \frac{3a}{8} = 1 \Rightarrow \frac{2a}{8} = 1 \Rightarrow \frac{a}{4} = 1 \Rightarrow a = 4$$ 17. **Berechnung von $c$:** $$c = -\frac{3a}{4} = -\frac{3 \times 4}{4} = -3$$ 18. **Funktionsgleichung c:** $$f(x) = 4x^3 - 3x$$