1. Ges.: Bestimme eine mögliche Funktionsgleichung für die gegebenen Graphen. 1.a) Der Graph hat Nullstellen bei $x=-1$ und $x=1$ und zeigt ein lokales Maximum bei etwa $x=-1.5$. Das Verhalten im Unendlichen ist absteigend nach rechts, also der Leitkoeffizient ist negativ und der Grad ungerade (da der Graph von oben links nach unten rechts verläuft). Eine minimalgradige ganzrationale Funktion mit diesen Nullstellen ist ein Polynom 3. Grades mit Faktoren $(x+1)$ und $(x-1)$, also mindestens $f(x) = a(x+1)(x-1)(x-b)$ mit $a<0$. Da das lokale Maximum bei $x=-1.5$ liegt, wählen wir $b$ so, dass das Polynom diese Eigenschaft hat. Für eine einfache Lösung nehmen wir $b=0$ (also Faktor $x$), dann ist $$f(x) = a(x+1)(x-1)x = a x (x^2 -1) = a (x^3 - x)$$ Da der Graph rechts abfällt, ist $a<0$. Zum Beispiel $a=-1$: $$f(x) = -x^3 + x$$ 1.b) Der Graph hat Nullstellen bei $x=-1$, $x=1$ und $x=2$ und zeigt das typische Verhalten eines kubischen Polynoms. Die minimalgradige Funktion ist: $$g(x) = a(x+1)(x-1)(x-2)$$ Da kein weiteres Verhalten angegeben ist, nehmen wir $a=1$ für Einfachheit: $$g(x) = (x+1)(x-1)(x-2)$$ 1.c) Bestimme die Nullstellen der Funktion $$f(x) = x^2 \cdot (3x - 1)(x + 2)$$ Nullstellen sind die Werte von $x$, für die $f(x) = 0$ gilt. Das Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist: - $x^2 = 0 \Rightarrow x=0$ - $3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ - $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ Also sind die Nullstellen: $$x = 0, \quad x = \frac{1}{3}, \quad x = -2$$ 2.a) Berechne den Differenzenquotienten der Funktion $$h(x) = \frac{1}{x} - 3$$ auf dem Intervall $[0.5; 1]$: Formel Differenzenquotient: $$\frac{h(b) - h(a)}{b - a}$$ mit $a=0.5$, $b=1$: $$\frac{h(1) - h(0.5)}{1 - 0.5} = \frac{\left(\frac{1}{1} - 3\right) - \left(\frac{1}{0.5} - 3\right)}{0.5} = \frac{(1 - 3) - (2 - 3)}{0.5} = \frac{-2 - (-1)}{0.5} = \frac{-2 + 1}{0.5} = \frac{-1}{0.5} = -2$$ 2.b) Da kein Graph gegeben ist, kann der Differenzenquotient nicht berechnet werden. Deshalb wird nur 2.a) gelöst.