1. **Problemstellung:** Finde drei ganzrationale Funktionen 4. Grades mit genau den Nullstellen 1, 3 und 7. 2. **Formel und Regeln:** Eine ganzrationale Funktion 4. Grades mit Nullstellen $x=1,3,7$ hat die Form $$f(x) = a(x-1)(x-3)(x-7)g(x)$$ wobei $g(x)$ ein Polynom 1. Grades ist, da insgesamt Grad 4 gefordert ist. 3. **Wichtig:** Da nur die Nullstellen 1, 3 und 7 erlaubt sind, muss $g(x)$ eine Linearfaktor sein, der keine neuen Nullstellen hinzufügt. Also ist $g(x) = (x-r)$ mit $r$ gleich einer der Nullstellen 1, 3 oder 7, damit keine neue Nullstelle entsteht, oder $g(x)$ ist eine Konstante (Grad 0), aber dann wäre der Grad nur 3. 4. **Lösung:** Um Grad 4 zu erreichen und keine neuen Nullstellen hinzuzufügen, wählen wir $g(x)$ als Linearfaktor mit einer Nullstelle, die schon vorhanden ist, also z.B. $(x-1)$, $(x-3)$ oder $(x-7)$. 5. **Drei Funktionen:** - $$f_1(x) = (x-1)^2(x-3)(x-7)$$ - $$f_2(x) = (x-1)(x-3)^2(x-7)$$ - $$f_3(x) = (x-1)(x-3)(x-7)^2$$ 6. **Erklärung:** Jede Funktion hat genau die Nullstellen 1, 3 und 7, wobei eine Nullstelle doppelt ist, um den Grad 4 zu erreichen. Es gibt keine weiteren Nullstellen. 7. **Zusammenfassung:** Die drei Funktionen sind $$f_1(x) = (x-1)^2(x-3)(x-7),\quad f_2(x) = (x-1)(x-3)^2(x-7),\quad f_3(x) = (x-1)(x-3)(x-7)^2.$$