1. **Enunciado do problema:** Resolver o sistema linear por eliminação de Gauss: $$\begin{cases} 2x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 3x_1 + x_2 - 3x_3 = 1 \\ -2x_1 - x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$$ 2. **Matriz aumentada do sistema:** $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -3 & 1 \\ -2 & -1 & 1 & 0 \end{array} \right]$$ 3. **Objetivo:** Transformar a matriz aumentada em forma escalonada por linhas usando operações elementares. 4. **Passo 1:** Manter a primeira linha e eliminar os elementos abaixo do pivô (posição (1,1)): Multiplicamos a linha 1 por $\frac{3}{2}$ para eliminar o elemento da linha 2: $$L_2 \to L_2 - \frac{3}{2}L_1$$ Calculando: $$L_2: (3,1,-3,1) - \frac{3}{2}(2,2,-1,1) = (3,1,-3,1) - (3,3,-\frac{3}{2},\frac{3}{2}) = (0,-2,-\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$$ Multiplicamos a linha 1 por $-1$ para eliminar o elemento da linha 3: $$L_3 \to L_3 + L_1$$ Calculando: $$L_3: (-2,-1,1,0) + (2,2,-1,1) = (0,1,0,1)$$ Matriz após passo 1: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right]$$ 5. **Passo 2:** Eliminar o elemento abaixo do pivô da segunda linha (posição (2,2)) na linha 3: Multiplicamos a linha 2 por $-\frac{1}{2}$ para facilitar a operação: $$L_2 \to -\frac{1}{2}L_2 = (0,1,\frac{3}{4},\frac{1}{4})$$ Agora: $$L_3 \to L_3 - L_2 = (0,1,0,1) - (0,1,\frac{3}{4},\frac{1}{4}) = (0,0,-\frac{3}{4},\frac{3}{4})$$ Matriz após passo 2: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & -\frac{3}{4} & \frac{3}{4} \end{array} \right]$$ 6. **Passo 3:** Resolver a partir da última linha: Da linha 3: $$-\frac{3}{4}x_3 = \frac{3}{4} \Rightarrow x_3 = \frac{\frac{3}{4}}{-\frac{3}{4}} = \cancel{\frac{3}{4}} \div \cancel{-\frac{3}{4}} = -1$$ 7. **Passo 4:** Substituir $x_3 = -1$ na linha 2: $$x_2 + \frac{3}{4}(-1) = \frac{1}{4} \Rightarrow x_2 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow x_2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$$ 8. **Passo 5:** Substituir $x_2 = 1$ e $x_3 = -1$ na linha 1: $$2x_1 + 2(1) - (-1) = 1 \Rightarrow 2x_1 + 2 + 1 = 1 \Rightarrow 2x_1 + 3 = 1 \Rightarrow 2x_1 = 1 - 3 = -2 \Rightarrow x_1 = \frac{-2}{2} = -1$$ 9. **Resposta final:** $$\boxed{(x_1, x_2, x_3) = (-1, 1, -1)}$$