1. Le problème est de résoudre un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss-Jordan. 2. La méthode de Gauss-Jordan consiste à transformer la matrice augmentée du système en une forme échelonnée réduite par lignes (forme réduite de Gauss-Jordan). 3. On effectue des opérations élémentaires sur les lignes : échange de lignes, multiplication d'une ligne par un scalaire non nul, et addition d'une ligne multipliée par un scalaire à une autre ligne. 4. L'objectif est d'obtenir une matrice identité à gauche, ce qui permet de lire directement les solutions du système à droite. 5. Par exemple, pour le système : $$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 1 \end{cases}$$ On écrit la matrice augmentée : $$\left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 5 \\ 4 & -1 & 1 \end{array} \right]$$ 6. Diviser la première ligne par 2 : $$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ 4 & -1 & 1 \end{array} \right]$$ 7. Soustraire 4 fois la première ligne à la deuxième : $$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -7 & -9 \end{array} \right]$$ 8. Diviser la deuxième ligne par -7 : $$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & \frac{9}{7} \end{array} \right]$$ 9. Soustraire $\frac{3}{2}$ fois la deuxième ligne à la première : $$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{5}{2} - \frac{3}{2} \times \frac{9}{7} \\ 0 & 1 & \frac{9}{7} \end{array} \right]$$ 10. Calculer $\frac{5}{2} - \frac{3}{2} \times \frac{9}{7} = \frac{5}{2} - \frac{27}{14} = \frac{35}{14} - \frac{27}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$. 11. La matrice finale est : $$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{4}{7} \\ 0 & 1 & \frac{9}{7} \end{array} \right]$$ 12. Donc la solution est : $$x = \frac{4}{7}, \quad y = \frac{9}{7}$$ Cette méthode peut être appliquée à tout système linéaire pour trouver la solution unique, ou déterminer s'il n'y a pas de solution ou une infinité de solutions.