1. **Problema 4a: Resolució del sistema lineal pel mètode de Gauss** Tenim el sistema: $$\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ 2x - y + z = -1 \\ -x + y + z = 6 \end{cases}$$ 2. **Escrivim la matriu augmentada:** $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]$$ 3. **Aplicar eliminació de Gauss:** - Fem $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ \cancel{2} - 2\times 1 & -1 - 2\times 2 & 1 - 2\times (-1) & -1 - 2\times 0 \\ -1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -5 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]$$ - Fem $R_3 \leftarrow R_3 + R_1$: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -5 & 3 & -1 \\ \cancel{-1} + 1 & 1 + 2 & 1 + (-1) & 6 + 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -5 & 3 & -1 \\ 0 & 3 & 0 & 6 \end{array}\right]$$ - Fem $R_3 \leftarrow R_3 - \frac{3}{-5} R_2 = R_3 + \frac{3}{5} R_2$: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -5 & 3 & -1 \\ 0 & 3 + \frac{3}{5}(-5) & 0 + \frac{3}{5}3 & 6 + \frac{3}{5}(-1) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -5 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & \frac{9}{5} & \frac{27}{5} \end{array}\right]$$ 4. **Resolem per substitució enrere:** - De la tercera fila: $$\frac{9}{5} z = \frac{27}{5} \implies z = \frac{27}{5} \times \frac{5}{9} = 3$$ - De la segona fila: $$-5 y + 3 z = -1 \implies -5 y + 3 \times 3 = -1 \implies -5 y + 9 = -1 \implies -5 y = -10 \implies y = 2$$ - De la primera fila: $$x + 2 y - z = 0 \implies x + 2 \times 2 - 3 = 0 \implies x + 4 - 3 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$$ **Solució del sistema 4a:** $$\boxed{(x,y,z) = (-1, 2, 3)}$$ 5. **Problema 5a: Resolució del sistema no lineal** Tenim el sistema: $$\begin{cases} x + y^2 = 13 \\ x - y = 1 \end{cases}$$ 6. **Expressar $x$ de la segona equació:** $$x = y + 1$$ 7. **Substituir a la primera equació:** $$y + 1 + y^2 = 13 \implies y^2 + y + 1 = 13 \implies y^2 + y - 12 = 0$$ 8. **Resolem l'equació quadràtica:** $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-12)}}{2 \times 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}$$ - Solució 1: $$y = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ - Solució 2: $$y = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ 9. **Trobar $x$ per a cada $y$:** - Si $y=3$, $$x = 3 + 1 = 4$$ - Si $y=-4$, $$x = -4 + 1 = -3$$ **Solucions del sistema 5a:** $$\boxed{(x,y) = (4,3) \text{ o } (-3,-4)}$$