1. Planteamos el sistema de ecuaciones dado: $$\begin{cases} 2x + y - z = 6 \\ x - y + 2z = -1 \\ -x + 3y = 1 \end{cases}$$ 2. Escribimos la matriz aumentada del sistema: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 6 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right]$$ 3. Aplicamos eliminación de Gauss para triangular la matriz. Primero, intercambiamos fila 1 y fila 2 para facilitar el pivote: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 & 6 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right]$$ 4. Eliminamos el elemento debajo del pivote (fila 2, columna 1): $$\text{Fila 2} = \text{Fila 2} - 2 \times \text{Fila 1}$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -5 & 8 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right]$$ 5. Eliminamos el elemento debajo del pivote (fila 3, columna 1): $$\text{Fila 3} = \text{Fila 3} + \text{Fila 1}$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -5 & 8 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \end{array}\right]$$ 6. Ahora, usamos el pivote en fila 2, columna 2 para eliminar el elemento en fila 3, columna 2: $$\text{Fila 3} = \text{Fila 3} - \frac{2}{3} \times \text{Fila 2}$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -5 & 8 \\ 0 & 0 & \frac{16}{3} & -\frac{16}{3} \end{array}\right]$$ 7. Simplificamos la fila 3 multiplicando por $\frac{3}{16}$: $$\text{Fila 3} = \frac{3}{16} \times \text{Fila 3}$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -5 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right]$$ 8. Sustituimos hacia atrás para encontrar $z$, $y$ y $x$: De fila 3: $$z = -1$$ De fila 2: $$3y - 5z = 8 \Rightarrow 3y - 5(-1) = 8 \Rightarrow 3y + 5 = 8 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1$$ De fila 1: $$x - y + 2z = -1 \Rightarrow x - 1 + 2(-1) = -1 \Rightarrow x - 1 - 2 = -1 \Rightarrow x - 3 = -1 \Rightarrow x = 2$$ 9. Solución del sistema: $$\boxed{(x,y,z) = (2,1,-1)}$$ 10. Ahora, para hallar las raíces cuartas de cada variable, calculamos $\sqrt[4]{x}$, $\sqrt[4]{y}$ y $\sqrt[4]{z}$. Para $x=2$: $$\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}$$ Para $y=1$: $$\sqrt[4]{1} = 1$$ Para $z=-1$: Las raíces cuartas de $-1$ son números complejos: $$\sqrt[4]{-1} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} + \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Por simplicidad, la raíz cuarta principal de $-1$ es: $$e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$$