1. Das Problem: Wir wollen herausfinden, welche gebrochene rationale Funktion zu dem Bild passt, das eine Hyperbel zeigt mit einem senkrechten Asymptoten bei $x=2$ und einem waagerechten Asymptoten bei $y=0$. 2. Formel und Regeln: Eine gebrochene rationale Funktion hat die Form $$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$$ wobei $P(x)$ und $Q(x)$ Polynome sind. 3. Wichtig: Der senkrechte Asymptot entsteht, wenn der Nenner $Q(x)$ Null wird, also bei $x=2$ muss $Q(x)$ eine Nullstelle haben. Der waagerechte Asymptot $y=0$ bedeutet, dass der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. 4. Schritt: Da der Asymptot bei $x=2$ ist, ist $Q(x) = x-2$ (oder ein Vielfaches davon). 5. Schritt: Da $y=0$ der waagerechte Asymptot ist, muss der Zähler eine Konstante sein, z.B. $P(x) = k$. 6. Also ist die Funktion $$f(x) = \frac{k}{x-2}$$ mit $k \neq 0$. 7. Die Hyperbel hat zwei Äste, einer im ersten Quadranten (oben rechts) und einer im dritten Quadranten (unten links). Das bedeutet, dass $k$ positiv sein muss, damit $f(x)$ für $x>2$ positiv ist und für $x<2$ negativ. 8. Zusammenfassung: Die passende Funktion ist $$f(x) = \frac{1}{x-2}$$ (oder allgemein $$\frac{k}{x-2}$$ mit $k>0$).