1. **بيان المشكلة:** لدينا متتالية $v_n$ معرفة بدلالة متتالية $u_n$، ونريد إثبات أن $v_n$ متتالية هندسية، ثم تعيين أساسها وحثها الأول. 2. **المعطيات:** - $u_0 = 3$ - $u_{n+1} = 4u_n + 6$ - $v_n = u_n + 2$ 3. **الهدف:** إثبات أن $v_n$ متتالية هندسية، أي أن هناك عدد ثابت $q$ بحيث $v_{n+1} = q v_n$. 4. **الخطوات:** - نبدأ بحساب $v_{n+1}$: $$v_{n+1} = u_{n+1} + 2 = (4u_n + 6) + 2 = 4u_n + 8$$ - نعبر $u_n$ بدلالة $v_n$: $$v_n = u_n + 2 \implies u_n = v_n - 2$$ - بالتعويض: $$v_{n+1} = 4(v_n - 2) + 8 = 4v_n - 8 + 8 = 4v_n$$ 5. **النتيجة:** - إذن $v_{n+1} = 4 v_n$، وهذا يثبت أن $v_n$ متتالية هندسية أساسها $q = 4$. - نحسب الحد الأول $v_0$: $$v_0 = u_0 + 2 = 3 + 2 = 5$$ 6. **الخلاصة:** - المتتالية $v_n$ هندسية أساسها $4$ وحثها الأول $5$. **الجواب النهائي:** $$\boxed{v_n = 5 \times 4^n}$$