1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا متتالية هندسية متناقصة حيث $ v_1, v_2, v_3, v_4, v_5 $ هي حدود المتتالية. 2. نعلم أن المتتالية الهندسية تحقق العلاقة $ v_{n} = v_1 \times r^{n-1} $ حيث $ r $ هو النسبة المشتركة. 3. المعطيات: $ v_1 + v_2 + v_3 = 140 $ $ v_3 + v_4 + v_5 = 35 $ 4. نعبر عن الحدود باستخدام $ v_1 $ و $ r $: $ v_2 = v_1 r $ $ v_3 = v_1 r^2 $ $ v_4 = v_1 r^3 $ $ v_5 = v_1 r^4 $ 5. من المعادلة الأولى: $$ v_1 + v_1 r + v_1 r^2 = 140 $$ 6. من المعادلة الثانية: $$ v_1 r^2 + v_1 r^3 + v_1 r^4 = 35 $$ 7. نقسم المعادلة الثانية على المعادلة الأولى للتخلص من $ v_1 $: $$ \frac{v_1 r^2 + v_1 r^3 + v_1 r^4}{v_1 + v_1 r + v_1 r^2} = \frac{35}{140} = \frac{1}{4} $$ 8. بالتبسيط: $$ \frac{r^2 + r^3 + r^4}{1 + r + r^2} = \frac{1}{4} $$ 9. نضرب طرفي المعادلة في $ 1 + r + r^2 $: $$ r^2 + r^3 + r^4 = \frac{1}{4} (1 + r + r^2) $$ 10. نضرب الطرف الأيمن: $$ r^2 + r^3 + r^4 = \frac{1}{4} + \frac{r}{4} + \frac{r^2}{4} $$ 11. ننقل كل الحدود إلى جهة واحدة: $$ r^2 + r^3 + r^4 - \frac{1}{4} - \frac{r}{4} - \frac{r^2}{4} = 0 $$ 12. نجمع الحدود المتشابهة: $$ r^4 + r^3 + r^2 - \frac{r^2}{4} - \frac{r}{4} - \frac{1}{4} = 0 $$ 13. نكتبها بشكل أبسط: $$ r^4 + r^3 + \left(1 - \frac{1}{4}\right) r^2 - \frac{r}{4} - \frac{1}{4} = 0 $$ 14. نحسب $ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $: $$ r^4 + r^3 + \frac{3}{4} r^2 - \frac{r}{4} - \frac{1}{4} = 0 $$ 15. نضرب المعادلة كلها في 4 للتخلص من المقامات: $$ 4 r^4 + 4 r^3 + 3 r^2 - r - 1 = 0 $$ 16. نبحث عن جذور المعادلة. نجرب $ r = \frac{1}{2} $: $$ 4 \left(\frac{1}{2}\right)^4 + 4 \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 1 = 4 \times \frac{1}{16} + 4 \times \frac{1}{8} + 3 \times \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - 1 = 0 $$ 17. إذن $ r = \frac{1}{2} $ هو حل. 18. نستخدم المعادلة الأولى لإيجاد $ v_1 $: $$ v_1 + v_1 \times \frac{1}{2} + v_1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 140 $$ $$ v_1 \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 140 $$ $$ v_1 \times \frac{7}{4} = 140 $$ $$ v_1 = 140 \times \frac{4}{7} = 80 $$ 19. إذن الحدود هي: $$ v_1 = 80, \quad v_2 = 80 \times \frac{1}{2} = 40, \quad v_3 = 20, \quad v_4 = 10, \quad v_5 = 5 $$ 20. نلاحظ أن المتتالية متناقصة بنسبة $ r = \frac{1}{2} $ والقيم تحقق المعطيات. **الجواب النهائي:** $ v_1 = 80, v_2 = 40, v_3 = 20, v_4 = 10, v_5 = 5 $