1. Problema: Turime tris vienas po kito einančius geometrinės progresijos narius $a$, $b$, $c$, kurių suma lygi $-6$. Taip pat skaičiai $a$, $b$, $c+18$ yra aritmetinės progresijos nariai. Reikia rasti $a$, $b$, $c$. 2. Geometrinės progresijos nariai: jei $a$, $b$, $c$ yra geometrinės progresijos nariai, tai egzistuoja santykis $r$, kad $$b = a r, \quad c = a r^2.$$ 3. Suma: $$a + b + c = a + a r + a r^2 = a(1 + r + r^2) = -6.$$ 4. Aritmetinės progresijos nariai: $a$, $b$, $c + 18$ yra aritmetinės progresijos nariai, todėl $$2b = a + (c + 18).$$ Įrašome $b = a r$ ir $c = a r^2$: $$2 a r = a + a r^2 + 18,$$ $$2 r = 1 + r^2 + \frac{18}{a}.$$ 5. Išreiškiame $a$ iš sumos: $$a = \frac{-6}{1 + r + r^2}.$$ 6. Įstatome $a$ į antrą lygtį: $$2 r = 1 + r^2 + \frac{18}{a} = 1 + r^2 + 18 \cdot \frac{1 + r + r^2}{-6} = 1 + r^2 - 3(1 + r + r^2).$$ 7. Išskleidžiame: $$2 r = 1 + r^2 - 3 - 3 r - 3 r^2 = -2 - 3 r - 2 r^2.$$ 8. Perkeliame viską į vieną pusę: $$2 r + 3 r + 2 r^2 + 2 = 0,$$ $$5 r + 2 r^2 + 2 = 0,$$ $$2 r^2 + 5 r + 2 = 0.$$ 9. Sprendžiame kvadratinę lygtį: $$r = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}.$$ 10. Galimi sprendiniai: $$r_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}, \quad r_2 = \frac{-5 - 3}{4} = -2.$$ 11. Patikriname $a$ reikšmes: - Jei $r = -\frac{1}{2}$, $$a = \frac{-6}{1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{-6}{\frac{3}{4}} = -8.$$ - Jei $r = -2$, $$a = \frac{-6}{1 - 2 + 4} = \frac{-6}{3} = -2.$$ 12. Apskaičiuojame $b$ ir $c$: - Kai $r = -\frac{1}{2}$: $$b = a r = -8 \times -\frac{1}{2} = 4,$$ $$c = a r^2 = -8 \times \frac{1}{4} = -2.$$ - Kai $r = -2$: $$b = -2 \times -2 = 4,$$ $$c = -2 \times 4 = -8.$$ 13. Patikriname aritmetinės progresijos sąlygą: - Pirmam atvejui: $$2b = 2 \times 4 = 8,$$ $$a + c + 18 = -8 + (-2) + 18 = 8,$$ lygu, taigi pirmas sprendinys galimas. - Antram atvejui: $$2b = 8,$$ $$a + c + 18 = -2 + (-8) + 18 = 8,$$ lygu, taigi antras sprendinys taip pat galimas. 14. Galutiniai atsakymai: $$\boxed{(a,b,c) = (-8,4,-2) \text{ arba } (-2,4,-8)}.$$