1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Gewinnfunktion $$G(x) = -x^3 + 16x^2 - 27x - 252$$. Gesucht sind die Nullstellen, die Gewinnzone, der maximale Gewinn und der Wendepunkt der Funktion. 2. **Nullstellen bestimmen:** Nullstellen sind die Werte von $x$, für die $$G(x) = 0$$ gilt. 3. **Formel:** $$-x^3 + 16x^2 - 27x - 252 = 0$$ 4. **Lösung der Gleichung:** Wir versuchen, rationale Nullstellen durch Einsetzen von Teiler von 252 zu finden. Testen wir $x=3$: $$G(3) = -(3)^3 + 16(3)^2 - 27(3) - 252 = -27 + 144 - 81 - 252 = -216 \neq 0$$ Testen wir $x=7$: $$G(7) = -(7)^3 + 16(7)^2 - 27(7) - 252 = -343 + 784 - 189 - 252 = 0$$ 5. **Polynomdivision:** Teilen wir $G(x)$ durch $(x-7)$: $$\frac{-x^3 + 16x^2 - 27x - 252}{x-7} = -x^2 + 9x + 36$$ 6. **Quadratische Gleichung lösen:** $$-x^2 + 9x + 36 = 0$$ Multiplizieren mit $-1$: $$x^2 - 9x - 36 = 0$$ 7. **Mit Mitternachtsformel:** $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 144}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{9 \pm 15}{2}$$ 8. **Nullstellen:** $$x_1 = \frac{9 + 15}{2} = 12$$ $$x_2 = \frac{9 - 15}{2} = -3$$ 9. **Nullstellen der Funktion:** $$x = -3, 7, 12$$ 10. **Gewinnzone:** Gewinn ist positiv, wenn $$G(x) > 0$$. Zwischen den Nullstellen ist der Gewinn positiv oder negativ. Testen wir Werte: - Für $x=0$: $$G(0) = -252 < 0$$ (negativ) - Für $x=5$: $$G(5) = -125 + 400 - 135 - 252 = -112 < 0$$ (negativ) - Für $x=10$: $$G(10) = -1000 + 1600 - 270 - 252 = 78 > 0$$ (positiv) Also ist die Gewinnzone zwischen $7$ und $12$. 11. **Maximalen Gewinn berechnen:** Maxima liegen an Stellen, wo die erste Ableitung $$G'(x) = 0$$ ist. 12. **Ableitung:** $$G'(x) = -3x^2 + 32x - 27$$ 13. **Nullstellen der Ableitung:** $$-3x^2 + 32x - 27 = 0$$ Multiplizieren mit $-1$: $$3x^2 - 32x + 27 = 0$$ 14. **Mitternachtsformel:** $$x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 324}}{6} = \frac{32 \pm \sqrt{700}}{6} = \frac{32 \pm 10\sqrt{7}}{6}$$ 15. **Berechnung der Werte:** $$x_1 = \frac{32 - 10\sqrt{7}}{6} \approx 2.46$$ $$x_2 = \frac{32 + 10\sqrt{7}}{6} \approx 3.65$$ 16. **Zweite Ableitung:** $$G''(x) = -6x + 32$$ 17. **Art der Extremstellen prüfen:** - Für $x_1 \approx 2.46$: $$G''(2.46) = -6(2.46) + 32 = 17.24 > 0$$ (Minimum) - Für $x_2 \approx 3.65$: $$G''(3.65) = -6(3.65) + 32 = 9.1 > 0$$ (Minimum) Da beide zweite Ableitungen positiv sind, sind beide Stellen Minima. Da die Funktion ein Kubikpolynom mit negativem Leitkoeffizienten ist, ist das Maximum an einem Rand oder Wendepunkt. 18. **Wendepunkt berechnen:** Wendepunkt liegt bei $$G''(x) = 0$$ 19. **Lösung:** $$-6x + 32 = 0 \Rightarrow x = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} \approx 5.33$$ 20. **Wert des Wendepunkts:** $$G(5.33) = - (5.33)^3 + 16(5.33)^2 - 27(5.33) - 252 \approx -151.5 + 455.1 - 144 - 252 = -92.4$$ 21. **Zusammenfassung:** - Nullstellen: $$x = -3, 7, 12$$ - Gewinnzone: $$7 < x < 12$$ - Wendepunkt: $$x = \frac{16}{3} \approx 5.33$$ mit $$G(5.33) \approx -92.4$$ - Maximaler Gewinn liegt nahe $x=7$ oder $x=12$, da keine lokalen Maxima vorliegen, sondern Minima. Der maximale Gewinn ist an der Stelle $x=7$ oder $x=12$ zu prüfen. 22. **Maximaler Gewinn an Randpunkten der Gewinnzone:** $$G(7) = 0, \quad G(12) = 0$$ 23. **Test innerhalb der Gewinnzone:** $$G(10) = 78$$ (positiv und größer als an den Rändern) Der maximale Gewinn ist also ungefähr $$78$$ bei $$x=10$$.