Question: Giải câu c đi
1. **Đặt lại bài toán:** Cho $$A = \frac{\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x} - 4}$$ và $$B = \frac{x}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$$ với $$x > 0$$, $$x \neq 4$$.
Câu c yêu cầu: Đặt $$P = \frac{A}{B}$$. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $$x$$ sao cho $$P^2 > P$$.
2. **Phân tích điều kiện:**
Bất đẳng thức $$P^2 > P$$ tương đương với $$P^2 - P > 0$$ hay $$P(P - 1) > 0$$.
Điều này xảy ra khi:
- $$P > 1$$ hoặc
- $$P < 0$$.
3. **Rút gọn biểu thức B (từ câu b):**
Ta có
$$B = \frac{x}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$$
Nhóm hai phân số sau:
$$\frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{(\sqrt{x} + 2) + (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 4}$$
Vậy
$$B = \frac{x}{x - 4} + \frac{2\sqrt{x}}{x - 4} = \frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4}$$
4. **Viết lại $$P$$:**
$$P = \frac{A}{B} = \frac{\frac{\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x} - 4}}{\frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4}} = \frac{\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x} - 4} \times \frac{x - 4}{x + 2\sqrt{x}}$$
5. **Đặt $$t = \sqrt{x}$$, với $$t > 0$$ và $$x = t^2$$, $$x \neq 4 \Rightarrow t \neq 2$$.
Thay vào:
$$P = \frac{t + 5}{2t - 4} \times \frac{t^2 - 4}{t^2 + 2t}$$
6. **Rút gọn các đa thức:**
- $$t^2 - 4 = (t - 2)(t + 2)$$
- $$t^2 + 2t = t(t + 2)$$
Vậy
$$P = \frac{t + 5}{2t - 4} \times \frac{(t - 2)(t + 2)}{t(t + 2)}$$
Cắt $$t + 2$$:
$$P = \frac{t + 5}{2t - 4} \times \frac{t - 2}{t}$$
7. **Rút gọn thêm:**
Viết $$2t - 4 = 2(t - 2)$$, ta có
$$P = \frac{t + 5}{2(t - 2)} \times \frac{t - 2}{t} = \frac{t + 5}{2} \times \frac{1}{t} = \frac{t + 5}{2t}$$
8. **Bất đẳng thức $$P(P - 1) > 0$$ với $$P = \frac{t + 5}{2t}$$:**
Tính $$P - 1$$:
$$P - 1 = \frac{t + 5}{2t} - 1 = \frac{t + 5 - 2t}{2t} = \frac{5 - t}{2t}$$
Vậy
$$P(P - 1) = \frac{t + 5}{2t} \times \frac{5 - t}{2t} = \frac{(t + 5)(5 - t)}{4t^2}$$
9. **Xét dấu của $$P(P - 1)$$:**
Mẫu $$4t^2 > 0$$ với $$t > 0$$ nên dấu phụ thuộc tử:
$$(t + 5)(5 - t) > 0$$
- Vì $$t > 0$$ nên $$t + 5 > 0$$ luôn đúng.
- Do đó, bất đẳng thức trở thành:
$$5 - t > 0 \Rightarrow t < 5$$
10. **Kết hợp điều kiện:**
- $$t > 0$$
- $$t \neq 2$$ (vì $$x \neq 4$$)
- $$t < 5$$
Vậy $$t \in (0, 2) \cup (2, 5)$$.
11. **Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $$x = t^2$$:**
- Với $$t < 5$$, giá trị nguyên lớn nhất của $$t^2$$ nhỏ hơn $$25$$.
- Các giá trị nguyên $$x$$ thỏa mãn là các số nguyên dương nhỏ hơn $$25$$ và khác $$4$$.
- Giá trị nguyên lớn nhất là $$24$$ (vì $$25$$ không được vì $$t < 5$$).
12. **Kiểm tra lại:**
- Với $$x = 24$$, $$t = \sqrt{24} \approx 4.9 < 5$$, thỏa mãn.
- Với $$x = 25$$, $$t = 5$$ không thỏa mãn.
**Vậy giá trị nguyên lớn nhất của $$x$$ để $$P^2 > P$$ là $$24$$.**