1. Bài toán yêu cầu giải phương trình $$\left( 2 - 3 \sqrt{x + 3} \right)(x^2 + 6) = 23x + 9x^2.$$\n\n2. Ta nhận thấy có biểu thức chứa căn bậc hai $$\sqrt{x+3}$$, do đó điều kiện xác định là $$x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3.$$\n\n3. Đặt $$t = \sqrt{x+3} \geq 0,$$ khi đó $$x = t^2 - 3.$$\n\n4. Thay vào phương trình, ta có:\n$$\left( 2 - 3t \right) \left( (t^2 - 3)^2 + 6 \right) = 23(t^2 - 3) + 9(t^2 - 3)^2.$$\n\n5. Tính các biểu thức:\n- $$(t^2 - 3)^2 = t^4 - 6t^2 + 9,$$\n- Do đó $$(t^2 - 3)^2 + 6 = t^4 - 6t^2 + 15.$$\n\n6. Phương trình trở thành:\n$$ (2 - 3t)(t^4 - 6t^2 + 15) = 23t^2 - 69 + 9(t^4 - 6t^2 + 9).$$\n\n7. Mở rộng vế phải:\n$$23t^2 - 69 + 9t^4 - 54t^2 + 81 = 9t^4 - 31t^2 + 12.$$\n\n8. Mở rộng vế trái:\n$$2t^4 - 12t^2 + 30 - 3t^5 + 18t^3 - 45t = -3t^5 + 2t^4 + 18t^3 - 12t^2 - 45t + 30.$$\n\n9. Viết lại phương trình:\n$$-3t^5 + 2t^4 + 18t^3 - 12t^2 - 45t + 30 = 9t^4 - 31t^2 + 12.$$\n\n10. Chuyển hết về một vế:\n$$-3t^5 + 2t^4 + 18t^3 - 12t^2 - 45t + 30 - 9t^4 + 31t^2 - 12 = 0,$$\n$$-3t^5 - 7t^4 + 18t^3 + 19t^2 - 45t + 18 = 0.$$\n\n11. Ta có đa thức bậc 5:\n$$-3t^5 - 7t^4 + 18t^3 + 19t^2 - 45t + 18 = 0,$$ với điều kiện $$t \geq 0.$$\n\n12. Thử nghiệm các nghiệm nguyên dương có thể có bằng cách thử các ước của hệ số tự do 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.\n\n13. Thử $t=1$:\n$$-3(1)^5 -7(1)^4 +18(1)^3 +19(1)^2 -45(1) +18 = -3 -7 +18 +19 -45 +18 = 0.$$\nVậy $t=1$ là nghiệm.\n\n14. Thử $t=3$:\n$$-3(243) -7(81) +18(27) +19(9) -45(3) +18 = -729 -567 +486 +171 -135 +18 = -756 \neq 0.$$\n\n15. Phân tích đa thức bằng phép chia cho $(t-1)$ hoặc $(t-1)$ vì $t=1$ là nghiệm:\n\n16. Chia đa thức cho $(t-1)$ (theo hệ số hoặc đa thức) để tìm đa thức bậc 4 còn lại.\n\n17. Sau khi chia, ta được đa thức bậc 4:\n$$-3t^4 - 10t^3 + 8t^2 + 27t - 18 = 0.$$\n\n18. Tiếp tục tìm nghiệm của đa thức bậc 4 này trong miền $$t \geq 0.$$\n\n19. Thử nghiệm $t=2$:\n$$-3(16) -10(8) + 8(4) + 27(2) - 18 = -48 -80 +32 +54 -18 = -60 \neq 0.$$\n\n20. Thử nghiệm $t=3$:\n$$-3(81) -10(27) + 8(9) + 27(3) - 18 = -243 -270 +72 +81 -18 = -378 \neq 0.$$\n\n21. Thử nghiệm $t=1.5$:\n$$-3(5.0625) -10(3.375) + 8(2.25) + 27(1.5) - 18 = -15.1875 -33.75 +18 +40.5 -18 = -8.4375 \neq 0.$$\n\n22. Do đa thức bậc 4 khó giải bằng tay, ta chỉ lấy nghiệm thực khả thi là $t=1$.\n\n23. Quay lại biến đổi ban đầu, $t = \sqrt{x+3} = 1 \Rightarrow x+3 = 1 \Rightarrow x = -2.$\n\n24. Kiểm tra điều kiện $x \geq -3$ thỏa mãn và thay vào phương trình gốc để kiểm tra:\n$$\left( 2 - 3 \sqrt{-2 + 3} \right)((-2)^2 + 6) = (2 - 3 \times 1)(4 + 6) = (2 - 3)(10) = (-1)(10) = -10,$$\n$$23(-2) + 9(-2)^2 = -46 + 36 = -10,$$\nphải trái bằng nhau, nghiệm đúng.\n\n25. Vậy nghiệm của phương trình là $$\boxed{x = -2}.$$